Основные положения и особенности расчета и анализа режимов работы трехфазных цепей.

В технике, кроме однофазных электрических цепей, широкое распространение находят многофазные цепи. Под многофазной электрической цепью понимают совокупность электрических цепей, в которых действуют несколько Э.Д.С. с одинаковыми амплитудами и частотами, сдвинутые по фазе относительно друг друга на определенные равные углы.

Практическое применение нашли симметричные двенадцати- и шестифазные системы – в выпрямителях (в которых угол сдвига фаз между Э.Д.С. составляет 30^º и 60^º соответственно), двухфазные – в автоматике (в которых угол сдвига фаз между Э.Д.С. – 90^º). Однако преимущественное распространение получила трехфазная система (в которой угол сдвига фаз между Э.Д.С. равен 120º), которая повсеместно используется в промышленности, сельском хозяйстве, при производстве и передаче электроэнергии. Это обусловлено следующими ее преимуществами по сравнению с однофазной системой: более высокие технико–экономические показатели при производстве и передаче электроэнергии; возможность получения вращающегося магнитного поля; значительно меньшие пульсации выпрямленного напряжения; возможность создания и эксплуатации относительно простых, надежных и экономичных генераторов, двигателей и трансформаторов.

Трехфазная система Э.Д.С. состоит из трех сдвинутых относительно друг друга по фазе на угол 120º синусоидальных Э.Д.С. равной частоты и амплитуды:

(3.1).

Глобальными источниками этой системы служат трехфазные синхронные генераторы электростанций (тепловых, гидро-, атомных и т.д.). В качестве локальных (местных) источников трехфазной сети, как правило, рассматриваются трехфазные трансформаторы, входящие в систему ЛЭП.

Практическое применение нашли только связанные трехфазные системы, в которых отдельные фазы (участки трехфазной цепи, по которых протекают одни и те же токи) электрически соединены друг с другом. Для получения связанной трехфазной системы фазные обмотки источника и приемники соединяют по схеме «треугольник» ( в которой условный конец первой фазы соединяется с условным началом второй фазы, условный конец второй – с условным началом третьей, конец третьей – с началом первой, а к началам фаз присоединяют линейные провода и обозначают – Δ) или «звезда» (в которой условные концы фаз соединяют в одной точке, называемой нулевой (нейтральной), а к условным началам присоединяют линейные провода и обозначают – Y). При этом существуют две схемы соединения «звезда» - трехпроводная (Y) и четырехпроводная (Y₀) c нулевым (нейтральным) проводом, соединяющим нулевые точки источника и потребителя. Условные начала обмоток источника на схемах обозначают прописными буквами А, В, С, а концы – X, Y, Z. Для обозначения начал и концов фаз нагрузок используют соответственно эти же, но уже строчные буквы (a, b, c и x, y, z).

За уcловно положительное направление Э.Д.С. в каждой фазе принимают направление от конца к началу обмотки. Положетельное направление тока в обмотках источника совпадает с направлением соответствующей Э.Д.С. Согласно закону Ома фазные напряжения (разность потенциалов между началом и концом фазной обмотки) источника направляются от начала к концу фазы, а линейные напряжения (разность потенциалов между линейными проводами) – от начала одной фазы к концу другой. Положительным направлением линейных токов (токов текущих в линейных проводах, соединяющих начала соответствующих фаз источника и приемника) считают направление от генератора к потребителю. В этом случае независимо от способа соединения фаз нагрузок положительным направлением фазных токов (токов текущих в фазах нагрузки) в нагрузке будет направление от начала к концу. Очевидно, положительное направление фазных напряжений потребителя будет совпадать с направлением фазных токов в его фазах.

Комплексные значения Э.Д.С. можно представить в виде (считая начальную фазу Э.Д.С. фазы А источника равной 0):

. (3.2)

Если пренебречь внутренним сопротивлением фаз источника, то фазные напряжения источника будут равны соответствующим фазным Э.Д.С.: . (3.3)

Тогда согласно второму закону Кирхгофа, линейные напряжения системы: . (3.4)

Для трехфазных цепей применимы все методы расчета цепей переменного тока, в том числе символический метод и метод векторных диаграмм. Причем, векторные диаграммы можно строить как для напряжений и токов источника, так и для напряжений и токов приемников.

При соединении фаз источника и потребителей по схеме «звезда» в трехпроводной цепи с симметричной (z_a=z_b=z_c) нагрузкой и в четырехпроводной – с любой нагрузкой, фазные напряжения приемников можно считать (пренебрегая сопротивлением линейных проводов) равными соответственным фазным напряжениям источника. Причем их действующие значения (модули комплексов) будут одинаковы и меньше в раз линейного напряжения:

U_a = U_b = U_c = U_фγ = . (3.5)

Аналогичное утверждение справедливо в случае соединения фаз источника и потребителей по схеме «треугольник», причем не зависимо от характера нагрузки, но при этом фазные напряжения нагрузки будут равны фазным напряжениям источника, которые равны линейным:

U_ab = U_bc = U_ca = U_фΔ = U_AB = U_BC = U_CA = U_л. (3.6)

Для схемы трехпроводной звезды фазные напряжения при несимметричной нагрузке не равны между собой и определяются соответствующей векторной разностью фазного напряжения источника и напряжения смещения нейтрали U_nN (разности потенциалов между нулевыми точками источника и потребителя):

, (3.7)

где

, (3.8)

здесь – комплексные значения проводимостей фаз нагрузки.

В соответствии с законом Ома ток в любой фазе:

, (3.9)

где – комплексное значение полного сопротивления данной фазы. Для схем соединения Y фазные и линейные токи равны:

I_фY = I_л. (3.10)

При этом для нулевых точек источника и приемника справедлив первый закон Кирхгофа:

-для схемы Y:

, (3.11)

-для схемы Y₀:

. (3.12)

Для соединения приемников Δ линейные токи определяются также в соответствии с первым законом Кирхгофа:

 

(3.13)

 

Векторные диаграммы трехфазной цепи для Э.Д.С., токов и напряжений строят обычно (если в исходных данных не указаны начальные фазовые углы Э.Д.С.), придерживаясь следующих правил. Один из векторов фазного напряжения источника (как правило фазы А), направляют вертикально вверх или горизонтально вправо. Векторы напряжений в фазах В и С строят с учетом их фазовых сдвигов по отношению к построенному вектору напряжения фазы А. Векторы линейных напряжений строят геометрически в соответствии с уравнениями (3.4). При этом следует помнить, что эти вектора должны образовать равносторонний треугольник, и их сумма всегда равна нулю.

При соединении фаз Y нейтральная точка N источника на векторной диаграмме всегда сохранят свое геометрическое положение, являющееся центром окружности, вписанной в равносторонний треугольник линейных напряжений. Геометрическое местоположение нейтральной точки приемника n определяют по напряжению смещения нейтрали U_nN. При наличии нейтрального провода, а также для симметричной нагрузки, соединенной трехпроводной звездой, U_nN=0 и на диаграмме нейтральные точки источника и нагрузки совпадают.

Трехфазную цепь можно рассматривать как совокупность трех однофазных цепей, поэтому активная и реактивная мощности в ней равны суммам мощностей отдельных фаз:

- для схемы Y:

-активная мощность:

P_Y = P_a + P_b + P_c;

-реактивная мощность:

Q_Y = Q_a +Q_b + Q_c;

- для схемы Δ:

-активная мощность:

P_Δ = P_ab + P_bc + P_ca;

-реактивная мощность:

Q_Δ = Q_ab +Q_bc + Q_ca;

Фазная активная мощность рассчитывается так же, как и для однофазного приемника:

P_ф = U_ф I_ф cos φ_ф = r_ф I_ф².

Фазная реактивная мощность рассчитывается аналогично, как и для однофазного приемника:

Q_ф = U_ф I_ф sin φ_ф = x_ф I_ф².

Полная мощность трехфазной цепи:

, при этом S ≠ S_a+S_b+S_c (для схемы Y )

и S ≠ S_ab+S_bc+S_ca (для схемы Δ).

Мощности трехфазной цепи могут быть определены в комплексной форме:

- для схемы Y:

 

- для схемы Δ:

 

При симметричной нагрузке мощности всех фаз одинаковы, поэтому мощность трехфазной цепи равна утроенной мощности одной фазы:

P = 3· P_ф =3· U_ф· I_ф · cos φ_ф;

Q = 3· Q_ф =3· U_ф · I_ф · sin φ_ф; (3.14)

S = 3·S_ф =3· U_ф · I_ф.

Мощности при симметричной нагрузке могут быть выражены и через линейные напряжения и токи:

P = · U_л · I_л · cos φ_ф;

Q = · U_л · I_л · sin φ_ф; (3.15)

S = · U_л · I_л.

При этом формулы мощности одинаковы независимо от схемы соединения приемников.