Решение этих задач требует знания законов Ома для всей цепи и ее участков, первого и второго правил Кирхгофа, методики определения эквивалентного сопротивления цепи при смешанном соединении резисторов.
Пример 1
В цепи (рисунок 26) Э.Д.С. первого источника Е1 = 52 В, Э.Д.С. второго источника Е2 = 26 В, внутренние сопротивления их R01 = R02 = 1 Ом.
Сопротивления потребителей R1 = 9 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 8 Ом,
R4 = 3 Ом.
Определить режим работы источников Э.Д.С. Вычислить ток цепи, напряжения на зажимах, а также мощность источников энергии и мощность потребителей.
Составить уравнение баланса мощностей.
Как измениться ток в цепи, если зажимы на первом источнике поменять местами?
R4 E1 R01
+ -
R3
R1
R2
E2 R02 I
+ -
Рисунок 26
Алгоритм решения
1. Направление тока, протекающего в цепи, выбираем произвольно и проставляем его на схеме.
2. Согласно второму закону Кирхгофа уравнение цепи будет иметь вид
E1 – E2 = I∙R01 + I∙R02 +I∙R1+ I∙R2 + IR3 + I∙R4
откуда
I = = = 1 A
3.Так как направление тока I совпадает с Е1 и противоположно Е2 , то источник Е1 работает в режиме генератора, а источник Е2 - в режиме потребителя электрической энергии.
4.Напряжение на зажимах источников
U1 = E1 - I∙R01 = 52 - 1 ∙ 1 = 51 В
U2 = E2 + I∙R01 = 26 + 1 ∙ 1 = 27 В
5. Мощности источников :
Pист 1 = E1 ∙ I = 52 ∙ 1 = 52 Вт
Pист 2 = U2 ∙ I = 27 ∙ 1 = 27 Вт
6. Мощности потребителей:
Pпотр 1 = I2 ∙ R1 = 12 ∙ 9 = 9 Вт
Pпотр 2 = I2 ∙ R2 = 12 ∙ 4 = 4 Вт
Pпотр 3 = I2 ∙ R3 = 12 ∙ 6 = 6 Вт
Pпотр 4 = I2 ∙ R4 = 12 ∙ 3 = 3 Вт
7. Потеря мощности на внутреннем сопротивлении первого источника, работающего в режиме генератора
P01 = I2 ∙ R01 = 12 ∙ 1 = 1 Вт
8. Уравнение баланса мощностей при встречном включении источников
Pист 1 = P01 + Pист 2 + Pпотр 1 + Pпотр 2 + Pпотр 3 + Pпотр 4
52 = 1 + 27 + 9 + 4 + 8 + 3
52 = 52
9. При замене местами зажимов первого источника оба источника станут работать в режиме генераторов. Тогда, согласно второму правилу Кирхгофа, уравнение цепи станет иметь вид
E1 + E2 = I’ ∙ (R01 + R02 + R1 + R2 + R3 + R4)
откуда
I’= = = 3 A
10. Уравнение баланса мощностей при согласном включении источников
E1 ∙I’ + E2 ∙I’ = (I’)2 ∙R01 + (I’)2 ∙R02 + (I’)2 ∙R1 + (I’)2 ∙R2 + (I’)2 ∙R3 + (I’)2 ∙R4
52 ∙ 3 + 26 ∙ 3 = 32 ∙ 1 + 32 ∙ 1 + 32 ∙ 9 + 33 ∙ 4 + 32 ∙8 + 32 ∙3
234 = 234
Пример 2
В цепь постоянного тока включили смешано шесть резисторов (рисунок 27).
R1 = 4 Ом R 4 = 4 Ом
R2 = 2 Ом R5 = 3 Ом
R3 = 8 Ом R6 = 15 Ом
I1 R1 I2 R2 I3 R3 I4 R4
A + С Д
R5 I5
R6 I6
B - I
Рисунок 27
Падение напряжения на резисторе R5 задано, оно равно U5 = 30 B.
Определить токи, напряжения и мощности каждого участка, а также расход электроэнергии за пять часов работы.
Как измениться ток I6, если резистор R6 замкнуть накоротко?
Алгоритм решения
1.Ток в цепи с одним источником электрической энергии течет от (+) к (-). Проставим направления токов на каждом участке.
Индекс тока или напряжения совпадает с индексом резистора. По которому проходит этот ток или на котором действует то напряжение.
2.Задачу решаем методом свертывания схемы.
Резисторы R1 и R2 соединены последовательно, заменяем их эквивалентным R1,2, где
R1,2 = R1 + R2 = 4+2 =6 Ом
Схема примет вид (рисунок 28).
I1 R1,2 I3 R3 I4 R4
A + С Д
R5 I5
R6 I6
B - I
Рисунок 28
R1,2,5 I3 R3 I4 R4
A + Д
R6 I6
B - I
Рисунок 29
I3 R1,2,3,5 I4 R4
A + Д
R6 I6
B - I
Рисунок 30
I4 R1,2,3,5,6
A + Д
R4
B - I
Рисунок 31
+ I Rобщ -
A B
Рисунок 32
3.Резисторы R1,2 и R5 соединены параллельно, заменим их эквивалентным R1,2,5 , где
R1,2,5 = 2 Ом
Схема примет вид (рисунок 29).
4.Резисторы R1,2,5 и R3 соединены последовательно, заменим их эквивалентным R1,2,3,5, где
R1,2,3,5 = R1,2,5 + R3 = 2 + 8 = 10 Ом
Схема примет вид (рисунок 30).
5.Резисторы R1,2,3,5 и R6 соединены параллельно, заменим их эквивалентным Rэ, где
Rэ = Ом
Схема примет вид (рисунок 31).
6.Резисторы Rэ и R4 соединены последовательно, заменим их эквивалентным Rобщ, где
Rобщ = Rэ + R4 = 6 + 4 = 10 Ом
7.По условию задано U5 = 30 B. Определяем ток I5, протекающий через резистор R5 (рисунок 32)
I5 = = = 10 A
8.Напряжение U5 = UAC (рисунок 28), т.к. резисторы R1,2 и R5 соединены параллельно. Токи I1 = I2, т.к. резисторы R1 = R2 соединены последовательно.
Поэтому
I1 = I2 = = 5 A
9.Согласно первому правилу Кирхгофа для узла А (рисунок 27).
I3 = I2 + I5 = 5 + 10 = 15 A
10. Падение напряжения на резисторе R3
U3 = UД = I3R3 = 15 8 = 120 B
11.Согласно второму закону Кирхгофа (рисунок 27)
UАД = UCД + UAC = 30 + 120 = 150 B
12.Напряжение UАД = U6, т.к. резисторы R1,2,3,5 и R6 соединены параллельно. Определяем ток I6, протекающий через резистор R6
I6 = = 10 A
13.Согласно первому закону Кирхгофа для узла Д (рисунок 27)
I4 = I3 + I6 = 15 + 10 = 25 A
14.Ток I4 резистора R4 является током I в неразветвленной части цепи, т.е.
I = I4 = 25 A
15.Падение напряжения на резисторе R4
U4 = I4 R4 = 25 4 = 100 B
16.Напряжение UAB,прикладываемое к зажимам цепи, можно определить
UAB = I Rобщ = 2510 = 250 В
UAB = UАД + U4 = 150 + 100 = 250 B
17.Мощности участков цепи
P1 = I12∙ R1 = 52 ∙ 4 = 100 Вт
P2 = I22 ∙ R2 = 52 ∙ 2 = 50 Вт
P3 = I32 ∙ R3 = 152 ∙ 8 = 1800 Вт
P4 = I42 ∙ R4 = 252 ∙ 4 = 2500 Вт
P5 = I52 ∙ R5 = 102 ∙ 3 = 300 Вт
P6 = I62 ∙ R6 = 102 ∙ 15 = 1500 Вт
18.Мощность всей цепи можно определить
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6
P = 100 + 50 + 1800 +2500 + 300 + 1500 = 6250 Вт = 6,25 кВт
или
P = I2 ∙ Rобщ = 252 ∙ 10 = 6250 Вт = 6,25 кВт
или
P = UAB ∙ I = 250 ∙ 15 = 6250 Вт = 6,25 кВт
19.Расход электроэнергии цепью за 5 часов работы
Wэ = P ∙ t = 6,25 ∙ 5 = 7,25 кВт. час
20.При замыкании накоротко резистора R4 схема примет вид (рисунок 33)
+ I1 R1 R2 I3 R3
A
I R5
R I6
B - I
Рисунок 33
21.Общее сопротивление цепи измениться и станет равным Rэ
Rобщ = RЭ = 6 Ом
22.Из полученной схемы (рисунок 33) видно, что напряжение UAB = U6`, значит ток I6`, протекающий через резистор R6 станет
I6` = = 16,6 Ом
Вывод: при замыкании накоротко резистора R4, I6 ток , протекающий через резистор R6 увеличился с 10 А до 16,6 А.
Пример 3
Определить токи схемы, изображенной на рисунке 34, используя преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
Заданы параметры резисторов:
R1 = 40 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 50 Ом, R4 = 15 Ом, R5 = 10 Ом.
А также параметры источника Э.Д.С. Е = 136 В, R0 = 4 Ом.
В
R1 R2
R5
А
R3 R4
Д
E R0
Рисунок 34
Алгоритм решения
1,Проставляем произвольно направление токов в ветвях схемы. Если в процессе расчетов ток получится со знаком (-), значит произвольно выбранное его направление неправильно и нужно его направление поменять на противоположное.
2.Заменим треугольник сопротивлений АВД (рисунок ) эквивалентной звездой (рисунок ) со сторонами
RA = 20 Ом
RB = 4 Ом
RД = 5 Ом
В
I2
RB R2
RA
А С
RД
I I4 R4
Д
E R0
Рисунок 35
3.Сопротивление внешней цепи
Rобщ = RA + 20 30 Ом
4.Ток в неразветвленной части преобразованной схемы определяем по закону Ома для полной цепи:
I = 4 А
5.Токи в параллельных ветвях преобразованной схемы распределяются обратно пропорционально сопротивлениям ветвей:
I2 = I ∙= 4 ∙ = 2 А
I4 = I ∙= 4 ∙ = 2 А
6.Применив второе правило Кирхгофа к контуру ВСДВ исходной схемы получим
I2 ∙ R2 - I4 ∙ R4 - I5 ∙ R5 = 0,
откуда
I5 = = = 0,2 A
7.Согласно первому правилу Кирхгофа для узла В (рисунок 34)
I1 = I2 + I5 = 2 + 0,2 = 2,2 A
8.Применив первое правило к узлу А, получим
I3 = I – I1 = 4 - 2,2 = 1,8 A
Пример 4
Решить пример 3, используя преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник сопротивлений.
Алгоритм решения
• Звезду сопротивлений с лучами, сходящимся в точке В, заменим эквивалентным треугольником сопротивлений.
Схема примет вид (рисунок 36)
RAC
RАД RСД
A I3 R3 Д I4 R4 C
I
E R0
Рисунок 36
RAC =R1 + R2 + 40 + 16+120 Ом
RАД = R1 + R5 + 40 + 10+ 75 Ом
RСД = R2 + R5 + 16 + 10 + 30 Ом
2. Сопротивление ветви АДС
RАДС = 40 Ом
3. Сопротивление внешней цепи
Rвн = 30 Ом
4.Ток в неразветвленной части цепи
I = 4 А
5. Падение напряжения между точками А и С
UAC = E - I∙R0 = 136 – 4 ∙ 4 = 120 В
6. Ток в ветвях AДС
IАДС = 3 А
7. Падение напряжения на участке АД (рисунок 36)
UАД = IАДС ∙ 3 ∙ = 90 B
8. Ток, протекающий через резистор R3
I3 = 1,8 А
9. Падение напряжения на участке ДС
UДС = UAC - UАД = 120 – 90 = 30 В
10. Ток, протекающий через резистор
I4 = 2 А
11. Согласно уравнения, составленного по первому правилу Кирхгофа для узла А (рисунок 34)
I1 = I – I3 = 4 – 1,8 =2,2 A
12.Согласно уравнения, составленного по первому правилу Кирхгофа для узла С (рисунок 34)
I2 = I – I4 = 4 – 2 = 2 A
13. Согласно уравнения, составленного по первому правилу Кирхгофа для узла Д (рисунок 34)
I5 = I4 – I3 = 2 – 1,8 = 0,2 A