Решение этих задач требует знания законов Ома для всей цепи и ее участков, первого и второго правил Кирхгофа, порядка расчета сложных (2 и более источника Э.Д.С.) цепей постоянного тока различными методами:
Методом узловых напряжений, методом наложения, методом узловых и контурных уравнений, методом контурных токов и др.
Пример 5
Определить токи ветвей сложной электрической цепи (рисунок 37) методом узлового напряжения.
Дано:
E1 = 20 B E2 = 40 В
R01 = 1 Ом R02 = 1 Ом
R1 = 9 Ом R2 = 19 Ом
R3 = 30 Ом R4 = 15 Ом
B B`
E1 + I3 I4 E2 +
R01 I1 R3 R4 R02 I2
R1 A A` R2
Рисунок 37
Алгоритм решения
1.Параллельно соединенные резисторы R3 и R4 заменяем эквивалентным R3,4.
R3,4= 10 Ом
Схема примет вид (рисунок 38).
B
E1 + I3,4 E2 +
R01 I1 R3 ,4 R02 I2 UAB R2
R1 A
Рисунок 38
2.Выбираем произвольно направление токов в ветвях (рисунок 38) и проставляем их на схеме.
3.Определяем узловое напряжение
UAB =
Примечание:
Е1 и Е2 вошли в уравнение со знаком (+), т.к. их направление совпадает с направлениями протекающих через них токов
q1= 0,1 Cм
q2= 0,05 Cм
q3,4= 0,1 Cм,
где
q1, q2 и q3,4 – проводимости соответствующих ветвей
UAB = = 16 В
4.Определяем токи в ветвях:
I1 = (E1 – UAB) ∙ q1 = (20 – 16) ∙ 0,1 = 0,4 A
I2 = (E2 – UAB) ∙ q2 = (40 – 16) ∙ 0,05 = 1,2 A
I3,4 = (0 – UAB) ∙ q3,4 = (0 – 16) ∙ 0,1 = - 1,6 A
Знак (-) в значении I3,4 показывает, что его направление в схеме (рисунок 38) нужно поменять на противоположное.
5.Напряжение UAB прикладывается к резисторам R3 и R4 (рисунок 37), поэтому токи, протекающие через эти резисторы, будут:
I3 = 0,53 А
I4 = 1,07 А
Пример 6
Решите пример 5 методом узловых и контурных уравнений ( с использованием первого и второго правил Кирхгофа).
Алгоритм решения.
1.Для схемы (рисунок 37) по первому правилу Кирхгофа составляем узловое уравнение
I1 + I2 + I3,4 = 0
Примечание. Число узловых уравнений всегда должно быть на единицу меньше количества узлов в цепи.
2.В рассматриваемой схеме (рисунок 38) три ветви, в них протекают три независимых тока I1, I2 и I3,4. Значит, независимых уравнений должно быть три. Составляем недостающие 2 уравнения по второму правилу Кирхгофа для контуров (направление обхода) контуров выбираем по ходу часовой стрелки):
контур ВАСД E1 = I∙(R1 + R01) – I3,4 ∙R3,4
контур ВДАВ - E2 = - I∙(R2 + R02) + I3,4 ∙R3,4
3.Подставляем в последние два уравнения числовые значения известных величин
20= I1 (9 + 1) – I3,4 ∙ 10 I1 =
- 40= - I2 (19 + 1) + I3,4 ∙ 10 I2 =
4.Подставляем выражения токов I1 и I2 в узловое уравнение
(2 + I3,4) + (2 + 0,5 ∙I3.4) + I3,4 = 0,
откуда
I3,4 = - 1,6 A
Знак (-) показывает, что в действительности ток I3,4 проходит в направлении, противоположном выбранному и показанному на схеме (рисунок 38).
I1 = 2 + I3,4 = 2 + (-1,6) = 0,4 A
I2 = 2 + 0,5∙ I3,4 =2 + 0,5 ∙ (-1,6) = 1,2 A
5.Напряжение между точками А и В (рисунок 38)
UAB = I3,4 ∙ R3,4 = 1,6 ∙ 10 = 16 B
6.Токи, протекающие через резисторы R3 и R4 исходной схемы (рисунок 37).
I3 = = 0.53 A
I3 = = 1,07 A
Пример 7
Решите пример 5 методом наложения (суперпозиции) токов.
Алгоритм решения.
1.Методом наложения рассчитываем упрощенную схему (рисунок 37). Сущность метода наложения заключается в том, что ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви всеми источниками Э.Д.С., действующими поочередно.
2. Вначале считаем, что в цепи действует только Э.Д.С. Е1 . Но в схеме оставляем внутреннее сопротивление второй Э.Д.С., т.е. R02.
Схема примет вид (рисунок 39) . Находим при этом условии частичные токи во всех ветвях.
B
E1 + I’2 R02
R01 I’1 R3 ,4
R1 I’3,4 R2
A
Рисунок 39
3. Эквивалентное сопротивление схемы (рисунок 39)
R’общ = R1 + 9 + = 15,66 Ом
4.Ток в неразветвленной части цепи равен :
I’1 = 1,2 А
5. Напряжение между точками А и В
UAB = E1 – I’1 ∙ (R01 + R1) = 20 – 1,2 ∙ (1 + 9) = 8 B
6. Токи в остальных ветвях схемы
I’2 = = = 0,4 A
I’3,4 = = = 0,8 A
7. Затем, полагая, что действует только Э.Д.С. Е2 , по аналогии произведем расчет для схемы, изображенной на (рисунке 40)
B
I1’’ I”3,4 E2 +
R01 R3,4 R02 I”2
R1 R2
A
Рисунок 40
R’’общ = R2 + 19 + = 24 Ом
I’’2 = 1,6 А
UAB’’ = E2 – I’’2 ∙ (R02 + R2) = 40 – 1,6 ∙ (1 + 19) = 8 B
I’’1 = = = 0,8 A
I’’3,4 = = = 0,8 A
8.Токи в ветвях упрощенной схемы (рисунок 38)
I1 = I’1 – I”1 = 1,2 – 0,8 = 0,4 A
I2 = I’’2 – I’2 = 1,6 – 0,4 = 1,2 A
I3,4 = I’3,4 + I”3,4 = 0,8 + 0,8 = 1,6 A
9. Напряжение между точками А и В исходной схемы (рисунок 37)
UAB = I3,4 ∙R3,4 = 1,6 ∙ 10 = 16 B
10. Токи, протекающие через резисторы R3 и R4 исходной схемы (рисунок 37)
I3 = = = 0,53 A
I4 = = = 1,07 A
Пример 8
Решите пример 5 методом контурных токов (с применением второго правила Кирхгофа)
Алгоритм решения
1. Метод контурных токов требует меньшего числа расчетных уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (пример 6). Расчет начинаем с упрощенной схемы (рисунок 37) цепи и вычертим ее вновь. Разобьем схему на элементарные контуры (ячейки) и для каждого контура составим уравнение по второму правилу Кирхгофа. На схеме рисунок 41 укажем направление контурных токов II и III и токов в ветвях I1; I2 и I3,4.
E1 I2 R02 E2
R01 I1 II R3,4 III
R1 I3,4 R2
Рисунок 41
Направление обхода по контуру принимаем совпадающим с направлением движения часовой стрелки.
контур ВАСВ E1 = II ∙(R3,4 + R1 + R01) – III ∙R3,4
контур ВДАВ - E2 = - III ∙(R3,4 + R2 + R02) – II ∙R3,4
2. Подставим в составленные уравнения заданные числовые значения:
20 = II ∙(10 + 9 + 1) – III ∙10
– 40 = III (1 + 19 + 10) – II ∙10
3. После решения этих уравнений определяем все контурные токи:
20 = 20 ∙II – 10 ∙III, 20 ∙II =20 + 10 ∙III,
2 ∙II = 2 + III, II = 1 + 0,5 ∙III,
– 40 = 30 ∙III – 10 ∙(1 + 0,5 ∙III),
– 40 = 30 ∙III – 10 – 0,5 ∙III, 25 ∙III = – 30, III = – 1,2 A,
II = 1 + 0,5 ∙III = 1 + 0,5 ∙(–1,2) = 0,4 A.
4. Токи в ветвях упрощенной схемы цепи
I1 = II = 0,4 A
I2 = – III = – (– 1,2) = 1,2 A
I3,4 = II – III = 0,4 – (– 1,2) =1,6 A
5. Падение напряжения между точками А и В
UAB = I3,4 ∙R3,4 =1,6 ∙ 10 = 16 В
6.Токи, протекающие через резисторы R3 и R4 исходной схемы (рисунок 37)
I3 = = = 0,53 A
I4 = = = 1,07 A
Методические указания к решению задач № 22-31
Решение этих задач требует знания свойств электростатических полей. При расчете цепей со смешанным соединением конденсаторов следует помнить, что при параллельном соединении напряжения на всех конденсаторах одинаковы, а заряды распределяются прямо пропорционально их емкости.
При последовательном соединении конденсаторов в батарею на всех конденсаторах заряд одинаков и равен общему заряду, а падение напряжения на конденсаторах распределяется прямо пропорционально их емкости.
Пример 9
Определить общую емкость и заряд группы конденсаторов (рисунок 42), а также заряд и напряжение каждого конденсатора, если задано:
С1 = 9 мкФ, С2 = 14 мкФ, U = 600 B.
С3 = 4 мкФ, С4 = 3 мкФ,
C1
U C2 C3
C4
Рисунок 42
Алгоритм решения
1.Конденсаторы С2 и С3, соединенные параллельно, заменяем эквивалентным С2,3. Схема примет вид (рисунок 43)
C1
U C2,3
C4
Рисунок 43
C2,3 = C2 + C3 = 14 + 4 = 18 мкФ
2. Конденсаторы С1, С2,3 и С4 соединены последовательно, их общая емкость будет равна
,
откуда
Собщ = 2 мкФ
3. Определяем заряд батареи конденсаторов
Qобщ = Собщ ∙U = 2 ∙10-6 ∙600 = 12 ∙10-4 Кл
4. На основании свойств последовательно соединения конденсаторов можно записать
Q1 = Q2,3 = Q4 = 12 ∙10-4 Кл
5. Вычислим напряжение на конденсаторах С1, С4 и группе С2,3.
U1 = = = 133 B
U4 = = = 400 B
U2,3 = = = 67 B
6. Определим заряды конденсаторов С2 и С3.
Q2 = U2,3 ∙C2 = 67 ∙14 ∙10- 6 = 7,38 ∙10- 4 Кл
Q3 = U2,3 ∙C3 = 67 ∙4 ∙10- 6 = 2,68 ∙10- 6 Кл
7. Энергия электрического поля батареи конденсаторов С2 и С3
WЭ = 0,36 Дж