Методические указания к решению задач 27-31

Решение этих задач требует знаний сущности символического метода расчета цепей переменного тока, 3-х форм комплексного числа, алгебраических действий с комплексными числами, перехода из одной формы комплексного числа в другую, методики расчета цепей постоянного тока, определения комплекса мощности, построения векторных диаграмм в комплексной плоскости согласно выбранному масштабу.

ПРИМЕР 18.

Решить пример 17 символическим методом ( с использованием комплексных чисел).

Дано: R₁ = 1,8 Ом X_L3 = 4 Ом

R₂ = 10 Ом X_C1 = 5,6 Ом

R₃ = 3 Ом X_C4 = 6 Ом

R₄ = 8 Ом X_L5 = 3,33 Ом

ƒ = 50 Гц U = 100 B

 

R₁ C₁

I

~U İ₂ İ₃ R₃ İ ₄ R₄ İ₅

R₂ L₃C₄ L₅

 

 

Рисунок 85

Векторную диаграмму построить в осях комплексных чисел с соблюдением масштабов_.

Алгоритм решения

1.Выразим сопротивления участком цепи в символической форме (алгебраической и показательной формах комплексного числи)

Z₁ = R₁ - jX_C1 = 1,8 - j5,6 Ом

Z₂ = R₂ = 10 Ом

Z₃ = R₃ + jX_L3 = 3 + j4 = = 5∙e ^j53 Ом

Z₄ = R₄ – jX_С4 = 8 – j6 = = 10∙e ^j37 Ом

Z₅ = jX_L5 = j3,33 = 3,33 ∙e ^j90 Ом

2.Определим комплекс полного сопротивления разветвления 2345

 

= 0,1+ 0,2^-j53 + 0,1^-j37 + 0,3^-j90 =

= 0,1 +0,2 (Cos 53^◦ - jSin53^◦) + 0,1(Cos 37^◦- jSin 37^◦) – j0,3 =

= 0,1 + (0,2∙0,6 – j0,2∙0,8) + (0,1∙0,8 + j0,1 ∙0,6) - j0,3 = 0,3 – j0,4 = = 0,5 ∙e^-j53 См

3.Комплекс полного сопротивления разветвления

Z_2-5 = = 2 ∙e ^j53 = 2 ∙Cos 53 + j2∙Sin 53⁰ =

= 2 ∙0,6 + j2 ∙0,8 =1,2 + j1,6 Ом

4.Комплекс полного сопротивления всей цепи

Z = Z₁ + Z_2-5 = 1,8 – j5,6 + 1,2 + j1,6 = 3 - j4 = 5 ∙e ^j53 Ом

5.Комплекс тока в неразветвленной части цепи, считая, что комплекс напряжения, прикладываемого к зажимам цепи U = 100В (т.е. действительное число).

İ = = = 20 ∙e ^j53 A

Модуль тока I = 20А

Сдвиг фаз между током и напряжением

= _U – _I = 0 – 53⁰ = -53⁰

Знак (-) показывает, что напряжение отстает от тока на угол 53⁰. Это характерно для активно-емкостной нагрузки в цепи.

6.Ток первой ветви, он же ток в неразветвленной части цепи, т.е.

İ₁ = İ = 20 ∙e ^j53 A

7.Комплекс падения напряжения на разветвлении 2345

U_2-5 = İ ∙Z_2-5 = 20 ∙e ^j53 ∙ 20 ∙e ^j53 = 40 ∙e ^j106 B

Модуль падения напряжения на разветвлении 2345

U_2-5 = 40 B

Начальная фаза напряжения на разветвлении 2345

Ψ_2-5 = 106^◦

8.Комплексы токов в ветвях разветвления 2345

İ₂ = = = 4 ∙e ^j106 A

 

İ₃ = = = 8 ∙e ^j53 A

 

İ₄ = = = 4 ∙e ^j143 A

İ₂ = = = 12 ∙e ^j53 A

9.Комплексы падений напряжений на отдельных элементах схемы:

_R1 = İ₁R₁ = 20∙ e ^j53 ∙1,8 = 36∙ e ^j53 B

_C1 = İ₁ ∙(-jX_C1) = 20∙ e ^j53 ∙1,8∙ e ^–j90 = 112∙ e ^–j37 B

_R2 = İ₂R₂ = 4∙ e ^j53 ∙10 = 40∙ e ^j106 B

_R3 = İ₃R₃ = 8∙ e ^j53 ∙3 = 24∙ e ^j53 B

_L3 = İ₁ ∙ jX_L3 = 20∙ e ^j90 = 32∙ e ^–j143 B

_R4 = İ₄R₄ = 4∙ e ^j143 ∙8 = 32∙ e ^j143 B

_C4 = İ₄ ∙(-jX_C4) = 20∙ e ^j143 ∙ 6 ∙ e ^–j90 = 24∙ e ^j53 B

_L5 = İ₁ ∙ jX_L5 = 20∙ e ^j16∙ 3,33 ∙ e ^j90 = 40∙ e ^j106 B

10.Если комплекс тока цепи I = 20 ∙ e ^j53 , то сопряженный комплекс тока будет = 20 ∙ e ^j53

11. Комплекс мощности цепи определяется произведением комплекса напряжения и сопряженный комплекс тока, т.е.

==100∙20∙ e ^–j53 = 2000∙ e ^–j53 = 2000(Cos 53^◦ - jSin 53^◦) =

= 2000(0,6 – j0,8) = 1200 – j1600 BA

откуда S = 2000 ВА; Р = 1200 Вт; Q = -1600 вар.

ПРИМЕЧАНИЕ:Знак (-) показывает, что реактивная мощность цепи носит емкостный характер.

12.Для построения векторной диаграммы цепи в осях комплексных чисел (рисунок 86) выбираем масштабы:

- по напряжению М_U = 20

- по току М_I = 4

 

+j

İ

 

_2-5 İ₁

İ₂ 106^◦ 53^◦ İ₅

İ₄ 143^◦ 16^◦ U +1

 

Рисунок 86