Методические указания к решению задач 32-36

Решение этих задач требует знаний символического метода расчета цепей переменного тока, соотношений между линейными и фазными токами и напряжениями при соединении трехфазного потребителя звездой или треугольником, методики расчета токов в фазах приемника, в линейных проводах и нулевом проводе, активной, реактивной и полной мощностей фаз приемника и всей цепи, построения векторных диаграмм в осях комплексных чисел согласно выбранному масштабу.

Пример 19

В трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением Uл = 660 В включены звездой три электроприёмника, комплексы сопротивлений которых заданы: Z =(40 + j30) Ом; ZB = 76 Ом; ZC = -j60 Ом. начертить схему цепи. Определить линейные токи, ток нулевого провода, активную, реактивную и полную мощности фаз и всей цепи. Построить в осях комплексных чисел векторную диаграмму цепи.

A İA

B İB

C İC

0 İ0 ZC

ZA ZB

 

Рисунок 87

Алгоритм решения

1.Исходя из условия (по комплексам сопротивлений фаз) в фазу А включена активно-индуктивная нагрузка, в фазу В – активная, а в фазу С – емкостная нагрузка. Вычерчиваем схему цепи (рисунок 87).

2.При соединении звездой с нулевым проводом каждый электроприемник находится под фазным напряжением сети. Определяем действующее значение фазного напряжения и выразим напряжения отдельных фаз в символической форме.

UФ = = = 380 В

=UФ = 380 B

В= UФ ∙e-j120 = 380∙Cos(-1200) + j380∙Sin(-120) =

= 380∙(Cos 600) + j380∙(-Sin 600) = 380∙0,5 – j380∙0,866 =

= 190 – j329 B

C= UФ∙ej120 = 380∙Cos120 + j380∙Sin1200 = -190 + j329 B

3.Представим комплексы сопротивлений фаз приемника в показательной форме:

ZA = 40 + j30 = = 50∙e j37 Ом

ZB = 76 Ом; ZC = -j60 = 60∙e –j90 Ом

 

4.Определяем комплексы токов в фазах электроприемника

İA = = = 7,6 ∙e –j37 = 7,6∙Cos(-370) + j7,6∙Sin(-370)=

= 7,6∙0,8 – j7,6∙0,5 = (6-j4,6) A

İB = = = 5∙e –120 = 5∙Cos(-1200) + j5∙Sin(-1200)=

= 5∙Cos(-600) + j5(-Sin 600) = -5∙0,5 – j5∙0,866 = (-2,5 – j4,3) A

İC = = = 6,3 ∙e j210 = 6,3∙Cos2100 ∙ j6,3∙Sin2100 =

= 6,3∙Cos(-300) + j6,3(-Sin 300) = -6,3∙0,866 – j6,3∙0,5 = (-5,45 – j3,15) A

ПРИМЕЧАНИЕ:При соединении электроприемников звездой токи в линейных проводах равны токам в соответствующих фазах.

5.Определим комплекс тока в нулевом проводе

İ = İA + İB + İC = (6-j4,6) + (-2,5 – j4,3) + (-5,45 – j3,15) =

= (-1,95 – 12,05) A =

= = 12,35∙ A

 

6.Сопряженные комплексы токов в фазах

А= 7,6∙ А; B = 5∙ A; C= 6,3∙ A.

7.Комплекс мощности фазы А

=АА= 380∙7,6∙ = 2888∙ = 2888∙(Cos370∙jSin370) =

= 2888∙0,8 + j2888∙0,6 – (2306 + j1733) BA, откуда

SA = 2888 BA; PA = 2306 Вт; QA = 1733 вар

8.Комплекс мощности фазы В

B = ВB= 380∙5∙ = 1900∙ = 1900 BA, откуда

SВ = PB = 1900 BA; QB = 0, так как в фазе В включена только

активная нагрузка

9.Комплекс мощности фазы С

С =СС= 380∙ ∙6,3∙ = -j2394 BA

PC = 0, так как в фазе С включена только ёмкость

QC = -2394 вар

ПРИМЕЧАНИЕ: Знак (-) свидетельствует, что реактивная мощность в фазе С носит емкостный характер, что соответствует нагрузке в фазе С (конденсатор).

10.Активная мощность всей цепи

P = PA + PB + PC = 2306 + 1900 + 0 = 4200 Вт = 4,206 кВт

11.Реактивная мощность всей цепи

Q = QA + QB + QC = 1733 + 0 – 2394 = -661 вар = -0,661 квар

12.Полная (кажущаяся) мощность трехфазной цепи

S = = = 4,26 кВА

13. Для построения векторной диаграммы (рисунок 88) задаемся масштабами

- по напряжению МU = 95

- по току МI = 2

 

+j

 

1200 A +1

c =2100 İ A = -370

B B= -990 İA

İN N = -990

Рисунок 88

Комплекс напряжения фазы А , т.е UA направляем по действительной оси комплексной плоскости. Под углом 1200 относительно UA проводим комплексы напряжений в фазе В и С, т.е. UВ и UС.

Комплексы токов в фазах и нулевом проводе строим в масштабе согласно результатов расчета, учитывая их модули и аргументы.

ПРИМЕЧАНИЕ: Положительные значения аргументов комплексов откладываем против движения часовой стрелки от положительного направления действительной оси комплексной плоскости.

14. При обрыве линейного провода А трехфазная цепь примет вид (рисунок 89) .Ток в линейном проводе А и в фазе А равен 0. Расчет значительно упрощается и ведется только по 2-м фазам и В и С.

 

Ток в нулевом проводе определяется:

İ0 = İ В + İС

B IB

ZB

0 I0

C IC ZC

 

Рисунок 89

Пример 20 .

В сеть трехфазного тока включена треугольником нагрузка с сопротивлением фаз ZAB = 80 + j60 Ом; ZBC = -j30 Ом; ZCA = 14 + j48 Ом. Линейное напряжение цепи 6 кВ. Вычислить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности цепи для :

а) нормального режима;

б) обрыва фазы АВ

в) обрыва линейного провода.

Построить векторные диаграммы напряжений и токов для всех трех случаев.

Алгоритм решения

Нормальный режим.

1.Согласно условия (по комплексам сопротивлений фаз делаем вывод) в фазу АВ включена активно-индуктивная нагрузка, в фазу ВС – емкостная, в фазу СА – активно-индуктивная нагрузка. Вычерчиваем схему цепи (рисунок 90).

2. Выразим векторы линейных напряжений в комплексном виде, при этом вектор напряжения АВ направим по действительной оси в положительном направлении, тогда АВ = 6000В.

 

A IA

 

В ICA

С IC ZBC IBCIAB

IB

Рисунок 90

АВ= Л ∙ е-j120 = 6000∙Cos(-120) + j600∙Sin(-120) =

= 6000∙(-0,5) + j6000(-0,866) = -3000 – j5196 В

СА= Л ∙ е j120 = 6000∙Cos120 + j600∙Sin120 =

= 6000∙(-Cos 600) + 6000(+Sin 600) = -3000 + j5196 В

3.Представим комплексы сопротивлений фаз в показательной форме комплексного числа.

ZAB = 80 + j60 = = 100∙e j37 Ом;

ZBC = -j30 = 30∙e -j90 Ом;

ZCA = 14 + j48 = = 50∙e j74 Ом;

 

4.Комплекс тока в фазе АВ

İAB = = = 60∙e-j37 = 60∙Cos(-370) + j60Sin(-370) = 48 – j36 A

5.Комплекс тока в фазе ВС

İBC = = = 200∙e-j30 = 200∙Cos(-300) + j200∙Sin(-300) =

= 200∙0,866 – j200∙0,5 = 173,2 – j100 A

6.Комплекс тока в фазе СА

İСА = = = 120∙ej46 = 120∙Cos 460 + j120∙Sin 460 =

= 83 + j86,7 A

7.Ток в линейном проводе А

İА = İАВ – İСА = (48 - j36) – (83 + j86,7) = -35 – j122,7 = = = 128∙e-j106 A

8.Ток в линейном проводе В

İВ = İВС – İВС = (173,2 – j100) – (48 – j36) = 125,2 – j64 = = = 141∙e-j27 A

 

9.Ток в линейном проводе С

İС = İСА – İBC = (83 + j86,7) – (173,2 – j100) = -90,2 + j186,7 = = = 207∙e j116 A

10.Сопряженные комплексы токов в фазах

АВ= 60∙е j37 A; BC= 200∙е j30 A; CA= 120 ∙е –j46 A.

11.Комплекс мощности в фазе АВ

АВ =АВАВ= 6000∙60∙ = 36∙104∙Cos 370 + j36∙104 ∙ Sin 370 =

= 36∙104∙0,8 + j36∙104 ∙0,6 = 28,8∙104 + j21,6∙104 BA

откуда PAB = 28,8 ∙104 = 288 кВт;

QAB = 21,6 ∙104 = 216 квар

SAB = 36 ∙104 = 360 кВA

12. Комплекс мощности в фазе ВС

BC = ВCBC= 6000∙ ∙ 200∙ = 12∙105 ∙e –j90 = -j12∙105 BA

откуда PBC = 0, так как в фазе ВС включен конденсатор

QBC = -12∙105 BA вар = -1200 квар.

13. Комплекс мощности в фазе СА

CA =CACA= 6000∙60∙ ∙120∙e-j46 =72∙104∙e j74 =

= 72∙104∙(Cos 740 + jSin740) = (19,8∙104 + j69,2∙104) BA

откуда PCA = 19,8 ∙104 = 198 кВт;

QCA = 69,2 ∙104 = 692 квар

SCA = 72 ∙104 = 720 кВA

14.Активная мощность всей цепи

P = PAB + PBC + PCA = 288 + 0 + 198 = 486 кВт

15.Реактивная мощность всей цепи

Q = QAB + QBC + PCA = 216 – 1200 + 692 = - 292 квар

 

 

16.Полная (кажущаяся) мощность всей цепи

S = = = 567 кВА

17. Для построения векторной диаграммы в осях комплексных чисел выбираем масштабы:

- по напряжению МU = 1200

по току МI = 30

При построении в масштабе откладываем модули комплексов токов и напряжений, а с помощью транспортира откладываем аргументы комплексов от положительного направления действительной оси, причем отрицательные углы откладываем против движения часовой стрелки (рисунок 91)

 

+j

İC

CA

АВ +1

İАВ İВ

İA İВС

BC

Рисунок 91

18. При обрыве фазы АВ получим схему, изображенную на рисунке 92. Так как при обрыве фазы АВ сопротивление ее равно бесконечности, то ток в ней равен нулю. Токи в фазах ВС и СА останутся такими же, как будто обрыва фазы АВ не было, последствие того, что линейные напряжения не изменяются, т .е

 

 

A IA

 

В IB RCA XCA

ICA XBC

С IC IBC

 

Рисунок 92

İBC = 200∙e-j30 A; İCA = 120∙e j46 A; İAB = 0

19.Комплекс линейного тока провода А.

İА = İАВ – İСА = 0 – (48 – j36) = -48 + j36 = = 60∙e j143 A

20. Комплекс тока в линейном проводе В.

İB = İBC – İАВ = İBC = 200∙e -j30 A

21. Комплекс тока в линейном проводе С.

İC = İCA – İBC = (83 + j86,7) – (173,2 – j100) = 207∙e –j116A

22. Мощности, развиваемые в фазах ВС и СА, останутся неизменными.

PBC = 0; QBC = SBC = -1200 вар;

PCA = 190 кВт; QCA = 692 квар; SCA = 720 кВА;

 

23. Активная мощность всей цепи.

P = PBC + PCA = 198 кВт

24. Реактивная мощность всей цепи.

Q = QBC + QCA = -1200 + 692 = 508 квар

25. Полная (кажущаяся) мощность всей цепи.

S = = = 545 кВА

26. Векторную диаграмму (рисунок 93) для режима работы цепи при обрыве фазы АВ строим в тех же масштабах:

- по напряжению МU = 1200

- по току МI = 30

+j

CA

İA İCA

АВ +1

 

İC İВС = İB

BC

Рисунок 93

Обрыв линейного провода

27. При обрыве линейного провода А получим схему, показанную на рисунке 94. Это однофазная цепь переменного тока, к зажимам которой прикладывается напряжение 6000 В. К фазе ВС прикладывается напряжение BC = 600∙ e –j120, а к последовательно соединенным фазам АВ и СА- CB= 600∙e j60

 

A

İАВ

В İB RCA XCA RAB

İCA İBC XB C XAB

С İC

Рисунок 94

 

28. Комплекс тока в фазе ВС

İAB = = = 200∙e-j30 или İВС = (173,2 – j100) A

29. Комплекс тока в фазах АВ и СА.

İАВ = İСА = = = 42∙e j11=

= 42∙ Cos 110 + j42∙ Sin 110 = (41,1 + j8,02) A

30. Комплекс тока в линейном проводе В.

İB = İBC – İAB = (173,2 – j100) – (41,1 + j8,02)132,1 – j108 =

= = 170∙e-j39 A

31. Комплекс тока в линейном проводе С.

İC = B = 170∙e j141A

32. Комплекс мощности фазы ВС

BC =BCBC= 6000∙ ∙200∙e j30 = 120∙104∙e –j90 = -j120∙104 BA

откуда PBC = 0; QBC = -120∙104 вар = -1200 квар

33. Комплекс мощности, потребляемой последовательно соединенными фазами АВ и СА.

АВ,СА =СВАВ= 6000∙ ∙ 42∙ e j11= 25,2∙104∙e j71 =

= 25,2∙104 (Cos 710 + jSin 710 ) = (8,2 ∙104 + j23,8∙104) BA

откуда: PAB,CA = 8,2∙104 Вт = 82 кВт

QAB,CA = 23,8∙104 вар = 238 квар

SAB,CA = 25,2∙104 ВА =252 кВА

34. Активная мощность всей цепи

P = PBC PAB,CA = 0 + 82 = 82 кВт

35. Реактивная мощность всей цепи

Q = QBC + QAB,CA = -1200 + 252 = -948 квар

36. Полная (кажущаяся) мощность всей цепи

S = = = 951 кВА

 

 

37. Векторную диаграмму (рисунок 95) для режима работы цепи при обрыве линейного провода А строим в тех же масштабах, что и в предыдущем режиме, т.е. М

+j

BC

İС

İAB = İCA +1

 

İBC İB

BC

Рисунок 95