Переходный процесс в электрических машинах при некоторых допущениях может быть описан системой дифференциальных уравнений. Исходными допущениями являются условия, упрощающие уравнения:
ü отсутствие насыщения магнитной системы машины;
ü в воздушном зазоре машины действуют только основные гармоники намагничивающей силы и индукции, в результате чего наведенные в статоре э. д. с. являются синусоидами основной частоты;
ü в магнитной системе машины отсутствуют какие-либо потери;
ü фазные обмотки статора полностью симметричны, а ротор симметричен относительно своих продольной и поперечной осей;
ü все демпферные обмотки в продольной и поперечной осях ротора заменяются соответственно эквивалентными продольной и поперечной демпферными обмотками;
ü ротор машины в течение переходного процесса вращается с постоянной синхронной скоростью.
Для синхронной машины, имеющей обмотку возбуждения и по одной демпферной обмотке в продольной и поперечной осях ротора (см. рис. 49), систему дифференциальных уравнений в фазных координатах можно записать в следующем виде:
(164)
С учетом принятых допущений входящие в эту систему потокосцепления обмоток имеют линейную зависимость от тока данного контура и токов магнитосвязанных с ним других контуров;
(165)
С учетом принципа взаимосвязи коэффициентов взаимоиндукции (МАВ = =МВА; МВf = МfB и т. д.) число коэффициентов М в системе уравнений (165) сокращается вдвое. В матричной форме эта система уравнений имеет вид
(166)
Коэффициенты взаимоиндукции между обмотками, магнитные оси которых сдвинуты на 90°, равны нулю, поскольку магнитная связь между ними отсутствует. Коэффициенты индукции и взаимоиндукции, заключенные в прямоугольники, ввиду симметрии статора относительно ротора от пространственного положения ротора не зависят. Все остальные коэффициенты L и М в (166) зависят от положения ротора.
Если (166) подставить в (164), то получится система уравнений с переменными коэффициентами, решение которой вызывает затруднения даже с использованием ЭВМ.
Изменение L и М обусловлено непрерывным изменением сопротивления магнитным потокам в воздушном зазоре машины и приближенно может быть выражено синусоидальной функцией.
Обозначив через А, В и С направления магнитных осей фазных обмоток статора, через d и q — положительные направления продольной и поперечной осей ротора, через g — угол между магнитной осью фазы А и продольной осью ротора d, через w — угловую скорость ротора (рис. 3.7), коэффициенты взаимоиндукции можно выразить известными зависимостями:
между обмоткой возбуждения и обмоткой фазы А
между демпферной обмоткой в продольной оси ротора и обмоткой фазы А
между демпферной обмоткой в поперечной оси ротора и обмоткой фазы А
В приведенных выражениях Мd и Мq — коэффициенты взаимоиндукции при совпадении соответственно осей d и q с магнитной осью фазы А.
Коэффициенты взаимоиндукции между обмоткой возбуждения и обмотками фаз В и С соответственно определяются выражениями
Индуктивности фазных обмоток и взаимоиндуктивности между ними имеют постоянную составляющую, а также переменную составляющую двойной частоты и в практических расчетах определяются по формулам
где постоянные l и т могут быть найдены по паспортным данным машины:
(167)
Для упрощения системы дифференциальных уравнений (165) мгновенные значения фазных величин y, i, и, е целесообразно рассматривать как проекции обобщенного вектора на неподвижные оси времени, совпадающие с магнитными осями обмоток фаз А, В и С (рис. 3.8). Обобщенным вектором можно характеризовать любые фазные величины , и , изменяющиеся во времени по произвольному закону, если соблюдается условие
(168)
В общем случае конец вектора f описывает сложную кривую с переменной скоростью относительно точки вращения.
Рис. 59. Представление обобщённого вектора в трёхосной (А, В, С) и двухосной (p, q) системах координат
Использование обобщенного вектора трехфазной системы позволяет в дифференциальных уравнениях переходного процесса синхронной машины (166) освободиться от переменных коэффициентов.
Для этого Р. X. Парк и независимо от него А. А. Горев предложили обобщенный вектор представить в двухосной системе координат, жестко связанной с ротором машины и совмещенной соответственно с продольной и поперечной осями ротора d, q (рис. 59).
Если сумма фазных переменных fA, fВ и fС не равна нулю, то кроме fd и fq необходимо ввести еще одну переменную f0 связанную с fA, fВ и fС зависимостью
(169)
которую по аналогии с (168) можно записать в следующем виде
Поскольку переменная составляющая f0 во всех трех фазах одинакова, ее называют нулевой составляющей мгновенных фазных значений рассматриваемого параметра f.
С учетом f0 три переменные fA, fВ и fС в координатах А, В, С можно однозначно заменить тремя другими переменными fd, fq и f0 в координатах d, q и 0, которые связаны между собой системой уравнений
(170)
где (см. рис. 59).
Из (170) следует, что обратный переход от fA, fВ и fС к fd, fq и f0 осуществляется на основании системы уравнений:
(171)
Переход от системы координат А, В, С к системе координат, d, q и 0 соответствует замене трехфазной машины эквивалентной двухфазной. Пространственное положение магнитных осей обеих обмоток такой машины определяется углом (см. рис.59).
Так как фазные обмотки, расположенные на осях d и q, неподвижны относительно ротора, то все индуктивности двухфазной машины постоянны. Следовательно, переход от переменных в координатах А, В, С к переменным в координатах d, q, 0 позволяет преобразовать уравнения (164) в соответствующие уравнения с постоянными коэффициентами.
Для получения уравнений синхронной машины в осях d, q, 0рассмотрим обобщенный вектор потокосцепления образующий с магнитной осью фазы А угол a (рис. 3.10).
Поскольку модуль Y и угол a являются функциями времени, э. д. с.
(172)
Из (172) следует, что результирующая э. д. с. машины состоит из двух составляющих — трансформаторной э. д. с. и э. д. с. вращения .
Если перейти к осям d и q, совместив их с осями комплексной плоскости, то потокосцепление
(173)
При этом э. д. с.
(174)
Следовательно, результирующая э. д. с. состоит из э. д. с. вращения и трансформаторной э. д. с. в обеих осях d и q.
Перейдя от переменных значений токов, напряжений и потокосцеплений в координатах А, В, С к переменным соответствующих параметров в координатах d, q, 0 в соответствии с (170) и подставив их в исходные уравнения (164), можно получить систему уравнений Парка — Горева:
(175)
где
(176)
Для полного описания электромагнитного переходного процесса в электрической машине необходимо учесть также уравнение
(178)
где — электромагнитный момент, приложенный к ротору машины.
Решение и анализ системы уравнений (175), (176) с учетом изменения угла g, характеризующего движение ротора машины, дают возможность установить характер одновременного протекания электромагнитного и электромеханического переходных процессов и их взаимного влияния в электрической системе и ее отдельных элементах.
В системе уравнений Парка — Горева (175), (176) учтены все основные составляющие электромагнитного переходного процесса в электрической машине и эти уравнения правильно отражают ток внезапного КЗ.