Топологические матрицы графов
Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей.
| Узловая матрица (А). Рассмотрим направленный граф электрической цепи. Составим и заполним таблицу согласно правилам: - если ветвь графа направлена от узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается +1; - если ветвь графа направлена к узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается −1; - если ветвь графа не связана с узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается 0. |
Таблица
| У з л ы | В е т в и | |||||
| +1 | +1 | −1 | ||||
| −1 | +1 | +1 | ||||
| −1 | −1 | +1 | ||||
| +1 | −1 | −1 |
Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:
АП = 
,
которая и определяет схему электрической цепи.
Из матрицы АП следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, поэтому одна из ее строк является зависимой. В этом случае матрицу АП заменяют матрицей Апутем вычеркивания любой строки из матрицы АП. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль. Тогда размер матрицы Аравен 
. В нашем случае размер матрицы А будет: 
.
Составим соответствующую таблицу:
| Контуры | В е т в и | |||||
| I | +1 | −1 | +1 | |||
| II | +1 | −1 | −1 | |||
| III | +1 | +1 | +1 |
Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных контуров (контурная матрица):
В = 
.
Размер контурной матрицы В: 
.
Таблица
| Главное сечение | В е т в и | |||||
| I | +1 | +1 | −1 | |||
| II | +1 | +1 | −1 | |||
| V | −1 | +1 | +1 |
Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных сечений:
Q = 
.
Размер матрицы главных сечений Q: 
.
Для заданного графа организуем контурную матрицу:
В = 
.
Матрица сопротивлений ветвей будет диагональной размером 
:
ZB = 
.
Далее находим произведение матрицы ZB и транспонированной (когда строки и столбцы меняются местами) контурной матрицы ВТ:
ZBBT = ∙
=
.
Матрицу контурных сопротивлений определит тройное матричное произведение:
ZK = B ZBBT = 
∙=
= 
.
Матрица проводимостей ветвей (YB) - эта матрица будет так же диагональной, но обратной относительно матрицы сопротивлений:
YB = 
.
Матрицу узловых проводимостей определит тройное матричное произведение:
Yq = AGBAT
Матрицы источников ЭДС (Е) и токов (J) -это столбцовые матрицы, число строк в которых равно числу ветвей графа:
; 
.