Методы анализа отклика нелинейных цепей

 

Задачей анализа является определение токов и напряжений в этой цепи. Для определения формы и гармонических составляющих тока на выходе, если задана форма и гармонические составляющие воздействующего напряжения, пользуются графическим и аналитическим методами.

Графический анализ состоит в построении временной диаграммы отклика по графику ВАХ и временной диаграмме воздействия, определении угла отсечки и спектра отклика.

Аналитический метод спектрального анализа отклика возможен при наличии математического выражения (формулы), отображающей реальную вольт-амперную характеристику.

 

Аналитическое определение спектра отклика НЭ на гармоническое воздействие

Предположим, ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется полиномом второй степени. Это соответствует характеристике, близкой к ВАХ полупроводникового диода.

i(u) = a₁u + a₂u²

Форма воздействия – гармоническая, т.е. и = U_msinwt.

Определим аналитически форму тока:

i = a₁U_msinwt + a₂U_m²sin²wt = a₁U_msinwt + a₂U_m²/2 – ( a₂U_m²/2 )cos2wt

Использована известная математическая формула преобразования: 2sin²a = (1 – cos2a)

 

В результате ток на выходе содержит гармоники, которых не было в воздействии: кроме первой гармоники появилась постоянная составляющая a₂U_m²/2 и вторая гармоника (a₂U_m²/2)cos2wt. Это свидетельствует об изменении формы тока на выходе по сравнению с гармоническим воздействием.

Существует закономерность: частоты гармоник отклика определяются степенями полинома, описывающего ВАХ нелинейного элемента.

Например, если полином записан в виде i(u) = a₁u + a₂u² + a₃u³ + a₄u⁴ + a₅u⁵, то при воздействии одной гармоникой u = U_msinwt ток будет содержать гармоники 1, 2, 3, 4, 5.

Справедлив вывод: спектр сигнала при прохождении через нелинейную цепь всегда изменяется: спектр выходного сигнала всегда содержит спектральных линий больше, чем спектр воздействия.

 

Аналитическое определение спектра отклика НЭ на бигармоническое воздействие

Рассмотрим случай бигармонического воздействия на нелинейную цепь, т.е. воздействия двух гармоник с разными частотами. Пусть нелинейная характеристика представляется по-прежнему полиномом второй степени: i(u) = a₁u + a₂u²

Воздействие: u₁ = U_m1sinw₁t и u₂ = U_m2sinw₂t

Отклик, т.е. ток на выходе:

i(t) = a₁ (U_m1sinw₁t + U_m2sinw₂t) + a₂(U_m1sinw₁t + U_m2sinw₂t)² = a₁ U_m1sinw₁t + a₁U_m2sinw₂t + a₂ U_m1²sin²w₁t + 2a₂U_m1U_m2 sin(w₁t) sin(w₂t) + a₂U_m2²sin²w₂t =

= a₁ U_m1sinw₁t + a₁U_m2sinw₂t +0.5 a₂ U_m1² – 0.5 a₂ U_m1cos2w₁t + 0.5 a₂ U_m2²– 0.5 a₂ U_m2cos2wt + a₂U_m1U_m2 cos (w₁ – w₂)t – a₂U_m1U_m2 cos (w₁ + w₂)t

Использованы тригонометрические формулы преобразования:

2sin²a = 1 – cos2a 2sin x sin y = cos(x – y) –cos(x +y)

Итак, в спектре тока, помимо гармоник воздействия w₁ и w₂, появились: постоянная составляющая [0.5 a₂ U_m1² + 0.5 a₂ U_m2²], вторые гармоники от воздействия 2w₁ и 2w₂, а также комбинационные частоты: (w₁ – w₂) и (w₁ + w₂) (рис.63б) . Наличие комбинационных частот в спектре сигнала говорит о совместном воздействии двух гармонических напряжений.

 

Рис. 63 а. Спектр воздействия

 

Рис. 63 б. Спектр отклика

 

 

Графический метод анализа отклика НЭ на гармоническое воздействие (метод проекций)

Временная диаграмма тока на выходе i(t) – отклика, при гармоническом воздействии u(t) строится по двум проекциям: заданной ВАХ и временной диаграмме напряжения на входе u(t).

 

Рис. 64 Построение отклика нелинейной цепи на гармоническое воздействие

 

На рис.64 U₀ – постоянная составляющая напряжения на входе - напряжение смещения. С его помощью выбирается рабочая точка на ВАХ нелинейного элемента. Переменная составляющая воздействующего напряжения U_msin(wt) накладывается на U₀ и вызывает изменение тока в нелинейном элементе. При построении кривой тока i(t) сначала определяют величину тока в режиме покоя I₀ (при U = U₀), а затем определяют максимальное значение тока, которое соответствует значению напряжения U₀ + U_m, и минимальному значению тока при U = U₀ – U_m. Период тока равен периоду переменной составляющей напряжения. При гармоническом воздействии на нелинейный элемент форма отклика i(t) в нем претерпевает искажения (отличается от формы напряжения). Это означает, что ток на выходе НЭ содержит новые гармоники, которых не было на входе. Этот ток можно записать в виде ряда Фурье:

 

Частоты гармоник кратны частоте входного напряжения кω. Амплитуды I_mк и начальные фазы φ_к определяются в зависимости от формы тока отклика.

 

Один из способов определения амплитуд гармоник – метод угла отсечки.

Если к нелинейному элементу подвести гармоническое напряжение со значительной амплитудой, а рабочую точку выбрать так, чтобы ток протекал через нелинейный элемент только часть периода (рис.65), форма тока будет представлять последовательность импульсов. Следовательно, состав отклика ί(t) изменится и наполнится высшими гармониками.

 

 

рис. 65 Метод угла отсечки

 

Амплитуды гармоник тока пропорциональны амплитуде импульса I_m и зависят от угла отсечки тока. Угол отсечки Θ равен половине длительности импульса выходного тока, выраженной в градусах.

I_mк = α_m(Θ)I_m , m=1,2,3, ... .

α_m(Θ) - называются коэффициентами Берга, они рассчитаны для различных углов отсечки Θ и приводятся в виде графиков Берга (рис. 66).

 

 

рис. 66 Коэффициенты Берга