Амплитудная модуляция

1. Математическая модель

Пусть модулирующим сигналом является гармоническое колебание низкой частоты Ω:

U(t)=U_musinΩt

В качестве несущего - высокочастотное гармоническое колебание:

S(t)=U_msin(ω_ot + φ)

При амплитудной модуляции амплитуда несущего колебания должна изменяться по закону модулирующего сигнала. Теперь амплитуда несущего колебания записывается:

U_m(t)=U_m + α_ам U_musinΩt,

а математическая модель модулированной несущей:

S_AM(t)=(U_m + α_ам U_mиsinΩt)sin(ω_ot + φ)

α_ам – коэффициент пропорциональности.

Важным параметром АМ-сигнала является коэффициент модуляции (глубина модуляции), равный отношению амплитуды модулирующего сигнала к амплитуде несущего:

m = α_ам U_mu/U_m

Теперь АМ-сигнал можно записать:

S_AM(t)=U_m(1 + msinΩt)sin(ω_ot + φ)

 

2.Временные и спектральные диаграммы

На рис.11 представлены временные диаграммы модулирующего, несущего, и АМ-сигнала (а), б), в) и спектральные диаграммы модулирующего, несущего, и АМ-сигнала соответственно (г), д), е).

 

 

Рис. 11. Временные и спектральные диаграммы

 

В любой момент времени амплитуда модулирующего сигнала не должна превышать амплитуды несущего колебания m = α_ам U_mu/U_m ≤ 1. В противном случае возникают искажения АМ-сигнала, называемые перемодуляцией.

Для построения спектральной диаграммы АМ-сигнала следует математическую модель представить в виде синусоидальных и косинусоидальных слагаемых - суммы гармоник. Если модулирующий сигнал простой - гармонический, в математической модели АМ-сигнала S_АМ(t) содержится слагаемое:

sinΩt·sin(ω_ot + φ)

 

В результате математических преобразований получим его в виде:

0,5[cos(ω_ot + φ – Ωt) - cos(ω_ot + φ + Ωt)]

 

Внесем это преобразование в формулу S_AM(t):

 

S_AM(t) = U_msin(ω_ot + φ) + cos[(ω_o – Ω)t + ψ] - cos[(ω_o + Ω)t + ψ]

Анализ формулы S_AM(t) показывает, что в составе АМ-сигнала обнаруживается несущая U_msin(ω_ot + φ) и две боковые частоты (ω_o + Ω) и (ω_o – Ω), по форме сигнал стал негармоническим и спектр его расширился. Частоты (ω_o + Ω) и (ω_o – Ω) называются верхней и нижней боковой частотой и расположены вблизи несущей ω_o на расстоянии от нее Ω, одновременно они являются высокими частотами (рис. 11е). Такой сигнал можно эффективно излучать с помощью передающих антенн приемлемых размеров.

 

Если модулирующий сигнал – периодический негармонический, его математическая модель

 

Если в формулу S_AM(t) вместо U(t) подставить этот ряд и произвести необходимые преобразования, можно убедиться ,что в спектре кроме несущей ω_o появится верхние боковые частоты (ω_o + kΩ), где k= 1,2,3, … , и нижние боковые частоты (ω_o - kΩ), где k= 1,2,3, … . И так как этим частотам в спектре сигнала будет соответствовать большое число линий слева и справа от ω_o , будем говорить о появлении верхних и нижних боковых полос. По содержанию они точно соответствуют спектру модулирующего сигнала, поэтому можно говорить о переносе спектра модулирующего сигнала в область высоких частот, в любое место по оси частот (рис.12).

Если модулирующий сигнал непериодический, его спектр - сплошной (рис.13а), спектральная диаграмма АМ-сигнала будет содержать также верхнюю и нижнюю боковые полосы непрерывного (сплошного) спектра (рис.13б)

Ширина спектра АМ сигнала – область частот, в которой расположена основная часть энергии АМ сигнала.

При модуляции одной гармоникой Ω ширина спектра очевидно:

Δω_АМ = (ω_o + Ω) - (ω_o - Ω) = 2Ω

Во всех остальных случаях она равна удвоенному значению наиболее высокой частоты в спектре модулирующего сигнала. Для импульсных модулирующих сигналов это соответствует интервалу частот, в котором располагается два первых лепестка спектра.

 

Рис.12. Временные диаграммы а), б), в) и спектральные диаграммы г), д), е) модулирующего, несущего и амплитудно-модулированного сигналов

а) б)