Спектр ЧМ сигнала значительно сложней спектра АМ сигнала. В математической модели ЧМ-сигнала
Sчм(t)=Umsin(ωot - М cosΩt + ψ)
аргумент синуса представим в виде разности двух величин: (ωot + Ψ) и М cosΩt. Обратившись к математике, где:
sin(x y) = sinx cosy cosx siny,
можно записать:
Sчм(t) =Um [sin ( ωot +Ψ)cos (МcosΩt) - cos(ωot +Ψ)sin(МcosΩt)],
где (x= ωot +Ψ; y= МcosΩt)
Функции cos (МcosΩt) и sin(МcosΩt) периодические и имеют сложную форму, следовательно, их можно представить в виде рядов Фурье с основной частотой Ω:
cos (МcosΩt) = Ιо(М) - 2 Ι2(М) cos2Ωt + 2 Ι4(М) cos4Ωt - 2 Ι6(М) cos6Ωt + …
sin(МcosΩt) = 2 Ι1(М) cosΩt -2 Ι3(М) cos3Ωt + 2 Ι5(М) cos5Ωt 2 Ι7(М) cos7Ωt +…
Внимательный анализ этих выражений показывает, что они содержат постоянную составляющую Ιо(М), зависящую от индекса модуляции М , а также набор четных и не четных гармоник частоты модулирующего сигнала Ω. Коэффициенты Ι1(М), Ι2(М), и т. д. зависят также от М . Теоретически М может принимать любые значения от -∞ до +∞. Коэффициенты Ι1(М), Ι2(М), и т. д. называют функциями Бесселя (рис.16).
Рис.16 Функции Бесселя
После дополнительных тригонометрических преобразований формулу ЧМ сигнала можно записать так:
Sчм(t)=Um Ιо(М)sin(ωot + φ)- Um Ι1(М){cos[(ωo- Ω)t + Ψ] + cos[(ωo + Ω)t + Ψ]} – Um Ι2(М) {sin[(ωo- 2Ω)t + Ψ] + sin(ωo + 2Ω)t + Ψ]} + Um Ι3(М){cos[(ωo- 3Ω)t + Ψ] + cos[(ωo + 3Ω)t + Ψ]} + Um Ι4(М){sin[(ωo- 4Ω)t + Ψ] + sin[(ωo + 4Ω)t + Ψ]} +…
В спектре ЧМ сигнала обнаруживаются гармоники: ωo, (ωo- Ω), (ωo+ Ω), (ωo- 2Ω), (ωo+ 2Ω) и т.д. Их амплитуды соответственно равны Um Ιо(М), Um Ι1(М), Um Ι2(М), и т. д. Они могут существенно изменяться при изменении М. При малых значениях индекса модуляции М (до 0,5) спектр ЧМ сигнала имеет только две боковые частоты (ωo- Ω) и (ωo+ Ω) и его ширина совпадает с шириной спектра АМ сигнала. С ростом М спектр значительно усложняется. Число спектральных линий, длина которых существенно отличается от нуля, зависит от М. Расстояние между соседними линиями спектра равно частоте модулирующего сигнала Ω (рис.17).
а)
б)
в)
Рис. 17. Спектры ЧМ сигналов при различных индексах модуляции - М