Заряд емкости через сопротивление
а) схема; б) эпюры напряжений
После замыкания ключа К начинается заряд конденсатора с и в цепи протекает ток заряда i.
По II закону Кирхгофа:
ir+uc –u=0; отсюда i=u-uc/r ;
В то же время
i= c duc/dt
Приравняв выражение для токов, имеем:
uc=rc* duc/dt +uc
Решение этого дифференциального уравнения:
| uc=u(1-e-t/τ ) |
где τ=rc – постоянная времени цепи
[Ом*с/Ом ] =[с]
| i=u/r*e-t/τ =Iосн e-t/τ |
Нарастание напряжения на емкости до 95%. Остальные максимальные значения n стадий тока до 5% от начального значения происходит по экспоненте за время t=3τ, т. е. процесс заряда инерционен и зависит от параметров цепи.
Рассмотрим цепь, в которой конденсатор подключен к источнику синусоидальной ЭДС.
а) схема б) временный график
В первую четверть периода напряжение uc возрастает, du/dt>0 , i>0; при этом положительные направления i и uc совпадают, энергия источника переходит в энергию поля конденсатора, который накапливает энергию
Wc =(cucm ) 2 /2.
Во вторую четверть периода напряжение убывает, du/dt<0 , i<0; ток изменяет направление, и энергия поля конденсатора возвращается в источник.
В следующую половину периода ток изменяет, и процесс накопления и возврата энергии конденсатором повторяется.
Следовательно, в цепи с идеальной емкостью (при отсутствии активных потерь) происходит непрерывный обмен энергией между источником и полем конденсатора без потерь.
Соединение конденсаторов
Параллельное соединение конденсаторов.
Здесь конденсаторы находятся под общим напряжением u, а общий заряд, который они получают от источника:
Поэтому
Параллельное соединение конденсаторов применяют для увеличения общей емкости.
Последовательное соединение конденсаторов.
В этом случае заряды, получаемые конденсаторами, одинаковы, т.к. через них протекает один и тот же ток.
Поэтому: C3=q/u1+u2+...+un=q/(q/C1)+(q/C2)+...+(q/Cn)=1/(1/C1)+(1/C2)+...+(1/Cn)
Если С1=С2=…=Сn ; то С3=С/n .
Последовательное соединение конденсаторов применяют в случае, когда допустимое напряжение одного конденсатора меньше напряжения источника.
Индуктивный элемент
Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока характеризуется наличием изменяющегося магнитного поля, создаваемого этим током, интенсивность которого может быть оценена магнитным потоком Ф, выражаемым в веберах [Вб] или [В*с]
Сумма магнитных потоков отдельных витков катушки индуктивности называется потокосцеплением.
где: W – количество витков катушки индуктивности;
Если магнитные потоки всех витков одинаковы, то
С другой стороны, потокосцепление:
где L – индуктивность, представляющая собой в данном случае коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током, вызывающим его:
Единица индуктивности – генри; дольные единицы милли-, микрогенри [мГн], [мкГн].
Наведение ЭДС в катушке индуктивности при изменении потокосцепления называется самоиндукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции определяется скоростью изменения потокосцепления, взятая с обратным:
Следовательно, индуктивность может быть также определена как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения тока в катушке и наводимой при этом ЭДС самоиндукции.
Знак «-» означает, что ЭДС самоиндукции препятствует причине, вызывающей её.
Работа катушки индуктивности в цепи синусоидального тока:
а) схема б) временный график
Действительно, если катушку индуктивности подключить к источнику синусоидальной ЭДС, то:
В первую четверть периода ток возрастает (di/dt>0) и ЭДС самоиндукции еl<0, направлена навстречу току и препятствует его увеличению.
При этом энергия источника переходит в энергию магнитного поля катушки:
Во вторую четверть периода ток убывает (di/dt<0) и ЭДС самоиндукции еl>0, т. е. совпадает с направлением тока, препятствуя его уменьшению;
При этом энергия магнитного поля катушки возвращается в источник. Следовательно, в цепи с идеальной катушкой индуктивности (т.е. при отсутствии активных потерь) происходит непрерывный обмен энергией между источником и магнитным полем катушки без потерь.
Напряжение на катушке индуктивности равно по величине и противоположено по направлению ЭДС индукции:
ul=-el
Рассмотрим процесс увеличения силы тока в цепи с индуктивностью и активным сопротивлением при подключении постоянного напряжения.
Увеличение силы тока в цепи, содержащей индуктивность и активное сопротивление:
а) схема; б) временный график
При замыкании ключа К в цепи начинает протекать ток. Составим уравнение по II закону Кирхгофа для данной цепи:
ir-el-u=0; i=u+ei/r;
el=-L di/dt; u=ir+L di/dt.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
| i=Iуст(1-е-t/τ ) |
Iуст=u/r – установившийся ток по окончании переходного процесса.
τ=L/r [Ом*с/Ом]= [с] - постоянная времени цепи.
Из временного графика видно, что нарастание тока до 95% установившегося значения Iуст=u/r происходит по экспоненте за время t=3 τ.
Спад тока в цепи до 5% от установившегося значения также происходит по экспоненте за время t=3 τ.
Лекция №5