Методы анализа частотных характеристик электрических цепей

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является ее комплексная передаточная функция. Представим электрическую цепь в виде четырёхполюсника (рис.9.1). Комплексная передаточная функция цепи определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.

Рис. 9.1

В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды :

1. Комплексная передаточная функция по напряжению

, (3.1)

где , , , - комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.

2. Комплексная передаточная функция по току

, (3.2)

где , , , - комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.

3. Комплексное передаточное сопротивление

. (3.3)

4. Комплексная передаточная проводимость

(3.4)

Из данных определений следует, что и являются безразмерными величинами, а и - имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости.

Комплексные передаточные функции цепи являются функцией частоты сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи.

Как всякую комплексную величину можно представить в показательной, тригонометрической и алгебраической форме:

; (3.5)

; (3.6)

; (3.7)

Наряду с передаточными функциями (3.1) - (3.4) при анализе цепей находят применение комплексные функции, определяющиеся отношением комплексной реакции к комплексному воздействию на входе электрической цепи (рис. 9.1)

. (3.8)

Эти функции носят название комплексных входных функций цепи.

Представим комплексную передаточную функцию в показательной форме:

Модуль комплексной передаточной функции называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), аргумент комплексной передаточной функции называют фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ).

Таким образом, амплитуда сигнала на выходе цепи определяется АЧХ (модулем комплексной передаточной функции), а фаза – ФЧХ (аргументом комплексной передаточной функции):

(3.9)

Если обозначить вещественную и мнимую части комплексной передаточной функции цепи:

,

то АЧХ и ФЧХ будут связаны с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции и соотношениями:

; (3.10)

. (3.11)

Важной характеристикой цепей является групповое время запаздывания (ГВЗ). ГВЗ определяется как

(3.12)

Знак минус перед производной объясняется тем, что для физически реализуемых цепей всегда ГВЗ ≥ 0, а ФЧХ таких цепей имеет отрицательный угол наклона.

Фазовые искажения сигнала цепью будут отсутствовать, если ее ГВЗ постоянно, т.е. не зависит от частоты сигнала. Амплитудные искажения будут отсутствовать, если АЧХ не зависит от частоты сигнала. Таким образом, условие неискаженной передачи сигнала цепью будет H (ω)=cons, φ(ω)=−ω∙(ГВЗ) ± kπ.

Определить и построить графики АЧХ по напряжению цепи (рис.9.2).

Рис. 9.2

АЧХ является модулем комплексной передаточной функции, которая может быть определена по формуле:

.

АЧХ цепи будет

При , при . График АЧХ для цепей первого порядка в общем случае (без задания численных значений элементов цепи) может быть построен по двум точкам при . График АЧХ рассматриваемой цепи (рис. 9.2) приведен на рис. 9.3

.

Рис. 9.3