Резонансом называют такое состояние пассивной электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением равен нулю. При этом входное реактивное сопротивление и/или входная реактивная проводимость цепи равны нулю.
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостный элементы, соединённые последовательно (последовательный контур) или параллельно (параллельный контур). В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов.
Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.
На рис.10.1 изображена схема последовательного контура, к которому приложено гармоническое напряжение с частотой .
Рис. 10.1
Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте
. (3.13)
При резонансе или , отсюда получаем уравнение резонансной частоты : (3.14)
На резонансной частоте сопротивление контура носит чисто резистивный характер, т. е. , ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Сопротивления индуктивности и емкости на резонансной частоте равны друг другу:
. (3.15)
Величина носит название характеристического сопротивления контура.
Резонансные свойства контура характеризуются его добротностью, которая в общем случае определяется как:
. (3.16)
Отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (и ) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
. (3.17)
Таким образом, добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение на резонансной частоте.
На рис. 10.2 изображены зависимости , , определяемые формулами:
, . (3.18)
Рис. 10.2
Из представленных характеристик следует, что при цепь имеет ёмкостный характер и ток опережает по фазе приложенное напряжение, при характер цепи индуктивный и ток отстаёт по фазе от приложенного напряжения; при наступает резонанс напряжений и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при резонансе минимальное значение .
Зависимость действующего значения тока от частоты определяется уравнением:
. (3.19)
Анализ зависимости показывает, что она достигает максимума при резонансе .
Степень отклонения частоты воздействия от резонансной частоты принято оценивать абсолютной, относительной и обобщённой расстройками. Расстройки определяются следующим образом:
абсолютная или ;
относительная ; (3.20)
обобщённая .
Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропускания называют диапазон частот, в пределах которого резонансная характеристика уменьшается в раз по сравнению с ее максимальным значением. Абсолютная полоса пропускания , где и - нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания:
. (3.21)
Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания и .
Абсолютную и относительную полосу пропускания можно выразить через добротность (3.22)
Формула (3.22) показывает, что чем выше добротность , тем меньше полоса пропускания и наоборот. Следует отметить, что подключение к контуру сопротивления нагрузки приводит к увеличению резистивных потерь контура и, следовательно, к уменьшению его добротности и расширению полосы пропускания.
Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях и имеет вид, изображённый на рис. 10.3.
Рис. 10.3
Комплексная входная проводимость такого контура
, (3.23)
где ; - комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и ёмкостью соответственно.
Из условий резонанса токов имеем: . Отсюда следует:
. (3.24)
Решив относительно , получим уравнение резонансной частоты:
. (3.25)
Из уравнения следует, что резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае, когда подкоренное выражение положительно (и , или и ).
Наибольший практический интерес представляет резонанс токов в контурах с малыми потерями. В этом случае уравнение резонансной частоты совпадает с выражением для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление такого контура стремится к бесконечности, и входной ток стремится к нулю. Эквивалентное резонансное сопротивление будет равно
, где . (3.26)
Тогда действующие значения токов в ветвях равно
. (3.27)
Из уравнений следует, что отношение токов в ветвях к току в неразветвлённой части цепи на резонансной частоте равно добротности контура:
, (3.28)
т.е. токи в реактивных элементах и при резонансе в раз больше тока на входе контура. Поэтому в параллельном контуре наблюдается резонанс токов. Резонансная кривая обратно-пропорциональна кривой, изображенной на рис. 10. 2.