Рис. 18.1
Проведем расчет переходного процесса в этой схеме, т.е. необходимо определить изменение напряжения на выходе цепи после коммутации, если в момент произошло замыкание ключа и , а .После коммутации по второму закону Кирхгофа получим уравнение: Далее: , где, t - постоянная времени цепи.Получаем уравнение относительно выходного напряжения: (18.3)Это линейное, неоднородное, обыкновенное, дифференциальное уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами.Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Как известно из математики, общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид , где А – произвольная постоянная, а p – корень характеристического уравнения .Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению, где вместо производных взята переменная p, в степени, определяемой порядком производных. Решая характеристическое уравнение, находим корень: . Общее решение будет иметь вид: .Частное решение неоднородного уравнения, в правой части которого постоянная величина U, необходимо искать также в виде постоянной . Подставляя в исходное уравнение , легко показать, что . Следовательно, ;Определим произвольную постоянную А из начальных условий: , т.е. , т.к. по закону коммутации . Тогда .В графическом виде эта зависимость показана на рис.18.2. Рис. 18.3Ток в рассматриваемой цепи легко найти: .
Рассмотренный классический метод исследования ЭЦ тесно примыкает к операторному методу, который основан также на линейной теории сигналов и систем. Он связан с представлением сигналов преобразованием Лапласа. Преобразование Лапласа является более общим по сравнением с преобразованием Фурье. Это преобразование позволяет путём простых процедур находить решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений, т.е. существенно упростить классический метод анализа.
Операторный метод расчета переходных процессов базируется на том, что сигнал, удовлетворяющий условию ограниченной вариации, , , , с помощью линейного оператора преобразования Лапласа из функции действительной переменной t преобразуется в функцию комплексной переменной . При этом производные и интегралы от такого сигнала будут выражаться алгебраическими функциями от p и от начальных условий. Поэтому с помощью преобразования Лапласа легко проводить алгебраизацию дифференциальных уравнений, что позволяет путём простых процедур находить решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений, т.е. существенно упростить анализ цепи по сравнению с классическим методом. При решении алгебраических уравнений отпадает необходимость определения постоянных дифференцирования по начальным условиям, они автоматически учитываются при алгебраизации уравнений.Сигнал в операторном методе называется оригиналом, а соответствующая функция комплексной переменной – изображением. Изображение находится с помощью прямого преобразования Лапласа. Например, для напряжения: . (20.2)Оригинал находится с помощью обратного преобразования: (20.3)В математике используются обозначения: , - операторы Лапласа. Алгебраизация дифференциальных уравнений связана с теоремами дифференцирования и интегрирования в области изображения.Пусть задан сигнал, удовлетворяющий условию ограниченности, и его изображение. Изображение от первой производной сигнала определяется как: , где s(0) – начальная величина сигнала.Аналогично для производной n – ого порядка:. (20.4)С помощью этой формулы осуществляется алгебраизация дифференциальных уравнений. Аналогично определяется изображение интеграла от сигнала: (20.5)Есть достаточно подробные таблицы преобразования Лапласа, где для данного оригинала можно найти изображение и наоборот. Оператор Лапласа, как и оператор Фурье является линейным. Они связаны между собой очень простой зависимостью: (20.6)Поэтому рассмотренный ранее символический метод легко обобщается на операторный метод анализа.Для преобразования Лапласа справедливы основные теоремы преобразования Фурье:· теорема о сдвиге (запаздывании): , (20.7)· теорема о свертке: , (20.8)· теоремы о предельных значениях: ; , (20.9) Если ввести понятия операторного сопротивления и операторной проводимости, то в соответствии с известными зависимостями между токами и напряжениями для элементов электрических цепей, получим: . (21.1)Из определения операторного сопротивления находим закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях : . (21.2)Аналогично записываем законы Кирхгофа в операторной форме: . (21.3)Таким образом, законы Ома и Кирхгофа в операторной форме аналогичны по записи тем же законам в символической форме.При ненулевых начальных условиях необходимо учесть составляющие начальных условий: для индуктивностей эта составляющая будет , для ёмкостей . Это дополнительные (внутренние) источники напряжения. Можно учесть начальные условия и в виде внутренних источников тока: для индуктивностей эта составляющая будет, для ёмкостей.Таким образом, сущность операторного метода анализа линейных электрических цепей заключается в переходе к операторной схеме замещения с учетом начальных условий (включение при ненулевых начальных условиях дополнительных источников напряжения или тока) и к изображениям внешних воздействий. Далее, используя законы электрических цепей в операторной форме, а также весь аппарат вычислений, применяемый для расчётов установившегося режима (метод узловых потенциалов, контурных токов и др.) находят ток или напряжение в операторной форме. По найденному изображению тока или напряжения находят его оригинал. Поскольку операторный метод по своей структуре аналогичен символическому методу, то по аналогии с комплексной передаточной функцией можно ввести понятие операторной передаточной функции или просто передаточной функции H(p). Передаточной функцией называется отношение изображения сигнала на выходе (т.е. изображение реакции цепи) к изображению входного воздействия (т.е. входного сигнала) при нулевых начальных условиях. Обозначая воздействие индексом “1”, а реакцию - “2”, приходим к четырем типам передаточной функции: Размерность и иногда подчёркивают тем, что их называют проходным сопротивлением и проходной проводимостью.Передаточная функция является характеристикой электрической цепи и не зависит от входных воздействий. Очевидно, что если известна передаточная функция цепи, то легко найти реакцию этой цепи на любое входное воздействие. Например, (21.5)Процедура определения операторной передаточной функции цепи полностью аналогична поиску комплексной передаточной функции при символическом методе.Из общего выражения для передаточной функции: (21.6) следует, что это дробно-рациональная функция от переменной . Если числитель этого выражения приравнять к нулю, то получается уравнение для определения нулей передаточной функции: . Нуль называется корнем этого уравнения, т.е. такое значение p, при котором передаточная функция обращается в нуль, например, – первый нуль.Если знаменатель приравнять к нулю, то получится уравнение полюсов. Оно называется характеристическим уравнением, так как по форме полностью совпадает с характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения, рассмотренного в классическом методе.Полюсом называется корень характеристического уравнения, т.е. значение p, при котором передаточная функция обращается в бесконечность, например, – первый полюс, – второй полюс и т.д.Для анализа свойств электрической цепи по расположению нулей и полюсов на плоскости переменной p, (p-плоскости) строят «нупольный портрет», рис. 21.1. Часто нупольный портрет называют «диаграммой нулей и полюсов».Рис. 21.1Зная нули и полюсы, легко найти передаточную функцию цепи: , (21.7)гдеЭто представление обладает единственностью и называется факторизацией функции.