Временной метод исследования переходных процессов электрических цепей

Временной метод анализа электрических цепей основан на линейной теории сигналов и цепей, т.е. использует свойство линейности оператора электрической цепи. Сигнал представляется в виде суммы элементарных функций времени: либо единичных функций, либо d-функций (функций Дирака).Реакция электрической цепи на единичную функцию называется переходной характеристикой этой цепи и обозначается g(t). Реакция электрической цепи на d-функцию называется импульсной характеристикой цепи и обозначается h(t). Эти две системные характеристики линейной электрической цепи лежат в основе временного метода и определяются при нулевых начальных условиях.Сущность временного метода заключается в следующем:· входное воздействие произвольной формы считается заданным и его можно представить в виде суммы или интеграла элементарных функций;· заданы временные системные характеристики электрической цепи g(t) или h(t), или если они не известны, то необходимо по заданным электрическим схемам найти их тем или иным способом (например, классическим методом);· используя формулы Дюамеля, вычисляют сигнал на выходе электрической цепи.Рассмотрим основные свойства временных характеристик цепи.Для физически-реализуемых электрических цепей реакция на выходе цепи не может появиться раньше воздействия на входе. Поэтому, если на входе цепи действует единичная или d-функции, то на выходе будет: Найдем связь между переходной и импульсной характеристиками цепи. Известно

; . Поскольку интегрирование и дифференцирование – это линейные операторы, то, используя линейность электрической цепи, получим:

; (19.1)

Поэтому, если одна характеристика известна, то другую находят по формулам связи. Определим связь между временными и частотными характеристиками цепи. Спектральная плотность , тогда в соответствии с определением комплексной передаточной функции можно найти спектральную плотность на выходе линейной электрической цепи, когда на входе ее действует d-функция: . Далее можно найти сигнал на выходе, а это и есть импульсная характеристика: (19.1)Таким образом, импульсная характеристика цепи и ее комплексная передаточная функция связаны Фурье преобразованиями: ; , т.е., зная , можно найти импульсную характеристику, а значит и переходную характеристику.Интеграл Дюамеля позволяет проводить анализ переходных процессов в цепи, если известна ее переходная характеристика. Сигнал на выходе электрической цепи может быть записан в следующем виде: , (19.2)где Используя теорему о свертке двух функций, можно получить другую форму интеграла Дюамеля: Таким образом, с помощью формулы Дюамеля, зная сигнал на входе, можно определить сигнал на выходе электрической цепи, если известна переходная характеристика этой цепи.Можно получить интеграл Дюамеля в виде формулы свертки, если воспользоваться импульсной характеристикой исследуемой цепи. Действительно, из фильтрующего свойства d-функции находим для входного сигнала представление: . Используя определение импульсной характеристики, можно получить: . (19.3)Здесь использовано свойство линейности оператора. Полученная формула является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики электрической цепи. Она позволяет рассчитать сигнал на выходе электрической цепи, если известна импульсная характеристика этой цепи. Та или иная форма интеграла Дюамеля выбирается, исходя из удобства вычислений.Далее для примера исследуем прохождение сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса через интегрирующую цепь (рис. 19.1) временным методом.Рис.19.1Входной сигнал (рис.19.1) можно представить следующей зависимостью:,где - амплитуда импульса; - длительность импульса.Тогда напряжение на выходе цепи (на емкости ) в соответствии с определением переходной характеристики и линейностью цепи будет определяться следующим выражением: Переходная характеристика цепи (см. лекцию 18): , где Окончательно получаем:При , . Напряжение на выходе цепи изображено на рис. 19.2.Рис. 19.2