; . Поскольку интегрирование и дифференцирование – это линейные операторы, то, используя линейность электрической цепи, получим:
; (19.1)
Поэтому, если одна характеристика известна, то другую находят по формулам связи. Определим связь между временными и частотными характеристиками цепи. Спектральная плотность , тогда в соответствии с определением комплексной передаточной функции можно найти спектральную плотность на выходе линейной электрической цепи, когда на входе ее действует d-функция: . Далее можно найти сигнал на выходе, а это и есть импульсная характеристика: (19.1)Таким образом, импульсная характеристика цепи и ее комплексная передаточная функция связаны Фурье преобразованиями: ; , т.е., зная , можно найти импульсную характеристику, а значит и переходную характеристику.Интеграл Дюамеля позволяет проводить анализ переходных процессов в цепи, если известна ее переходная характеристика. Сигнал на выходе электрической цепи может быть записан в следующем виде: , (19.2)где Используя теорему о свертке двух функций, можно получить другую форму интеграла Дюамеля: Таким образом, с помощью формулы Дюамеля, зная сигнал на входе, можно определить сигнал на выходе электрической цепи, если известна переходная характеристика этой цепи.Можно получить интеграл Дюамеля в виде формулы свертки, если воспользоваться импульсной характеристикой исследуемой цепи. Действительно, из фильтрующего свойства d-функции находим для входного сигнала представление: . Используя определение импульсной характеристики, можно получить: . (19.3)Здесь использовано свойство линейности оператора. Полученная формула является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики электрической цепи. Она позволяет рассчитать сигнал на выходе электрической цепи, если известна импульсная характеристика этой цепи. Та или иная форма интеграла Дюамеля выбирается, исходя из удобства вычислений.Далее для примера исследуем прохождение сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса через интегрирующую цепь (рис. 19.1) временным методом.Рис.19.1Входной сигнал (рис.19.1) можно представить следующей зависимостью:,где - амплитуда импульса; - длительность импульса.Тогда напряжение на выходе цепи (на емкости ) в соответствии с определением переходной характеристики и линейностью цепи будет определяться следующим выражением: Переходная характеристика цепи (см. лекцию 18): , где Окончательно получаем:При , . Напряжение на выходе цепи изображено на рис. 19.2.Рис. 19.2