Анализ устойчивости электрических цепей

 

Электрическая цепь называется устойчивой, если возникающие в ней рассогласования в процессе функционирования сводятся к нулю или к ограниченной величине, зависящей от параметров этой цепи. При отсутствии воздействия реакция устойчивой цепи будет равна нулю. Такая реакция в теории переходных процессов (см. главу 4) называется свободным колебанием. Таким образом, устойчивость цепи связана с устойчивостью свободных колебаний.

Цепь, не обладающая свойством устойчивости, т.е. неустойчивая цепь, при отсутствии воздействия будет генерировать колебания. При этом знаменатель выражения комплексной передаточной функции обращается в нуль, а выражение H3(jw) обращается в бесконечность. Действительно, формально при определении комплексной передаточной функции берут отношение комплексного напряжения реакции к воздействию, которое в данном случае равно нулю. Однако физически неустойчивость возникает тогда, когда в цепи существует обратная связь, поддерживающая любое отклонение на входе цепи. Это отклонение будет нарастать, благодаря обратной связи, само по себе, стремясь к бесконечности. Конечно, стремление к бесконечности у реальной цепи сводится к колебательному процессу, поскольку реальная цепь состоит из реальных элементов, в частности, источники электрической энергии ограничены по величине. Таким образом, в математическом плане анализ устойчивости цепи связан с исследованием характеристического уравнения, которое определяет характер свободных колебаний.

Для цепи с ОС характеристическое уравнение получается из выражения передаточной функции путем приравнивания к нулю знаменателя, т.е.

1- Нос (р)Нр(р)=0. (22.1)

Для линейных стационарных (с постоянными параметрами) цепей, функция

Нос (р)Нр(р) является дробно-рациональной, т.е. равной отношению двух полиномов. Тогда характеристическое уравнение можно записать в канонической форме, приравняв к нулю числитель уравнения (22.1) после приведения его к общему знаменателю

Аnpп + Аn-1pп-1 + … + А1p + А0 = 0. (22.2)

Решения характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции цепи. Именно в этих точках передаточная функция обращается в бесконечность. Поскольку тип свободных колебаний определяется положением полюсов на р-плоскости, то по их размещению можно судить об устойчивости цепи. Для устойчивости цепи необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции размещались в левой полуплоскости, исключая мнимую ось. Действительно, из теории переходных процессов известно, что выражение, описывающее свободное колебание цепи, всегда содержит коэффициент , где σk – действительная часть k-го полюса. Этот коэффициент определяет степень затухания свободных колебаний. Если σk<0, то свободные колебания с течением времени будут затухать, а именно в этом случае цепь устойчива и полюсы располагаются в левой полуплоскости. На рис. 22.1 для примера показаны размещения на р-плоскости полюсов устойчивой и неустойчивой цепи.

 

 

Рис. 22.1

Мнимая составляющая комплексной переменной р = σ+jω отложена по оси ординат

р-плоскости, а действительная по оси абсцисс. Передаточная функция цепи имеет два комплексно-сопряженных полюса, показанных на рис. 22.1 перекрестиями. Если абсцисса полюса определяет скорость затухания свободных колебаний, то его ордината определяет частоту свободных колебаний.

Поскольку в общем случае определение полюсов связано с необходимостью решения алгебраического уравнения высокой степени, что довольно сложно, то были разработаны критерии устойчивости. Критерии устойчивости бывают алгебраические и геометрические (частотные). Рассмотрим наиболее типичные алгебраические критерии.

Критерий Гурвица (Раусса-Гурвица) связан со свойствами коэффициентов характеристического уравнения цепи с ОС и заключается в следующем.

Цепь будет устойчивой, если при положительном старшем коэффициенте Аn полинома (22.2) будут положительны все n определителей Гурвица Di, i=, выделенные из матрицы коэффициентов. Матрица коэффициентов имеет n строк и n столбцов, причем недостающие в ней элементы заменяются нулями. Левая (главная) диагональ содержит элементы, начиная с Аn-1 и далее по убывающей до элемента А0. Элементы строк имеют возрастающий номер. Определители выделяются из матрицы, начиная с первого элемента, как это показано на рис. 22.2. Таким образом, если критерий будет выполнен, то полином в левой части характеристического уравнения устойчивой цепи будет полиномом Гурвица, поскольку его корни будут располагаться в левой полуплоскости р-плоскости. Использование критерия Гурвица не требует решения характеристического уравнения, а связано лишь с исследованием матрицы коэффициентов полинома.

и так далее.

Рис. 22.2

Типичным частотным критерием является критерий устойчивости Найквиста.

Критерий Найквиста заключается в следующем: у устойчивой цепи c обратной связью годограф петлевого усиления Hп(jw) при изменении w от 0 до ¥ не должен “охватывать” критическую точку [+1, j0]. Годографом (иногда называют “диаграммой Найквиста”) называется траектория конца вектора Hп(jw) на комплексной плоскости. Если представить комплексную функцию Hп(jw) в алгебраической форме Hп(jw) = R(ω)+jQ(ω), то на комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается реальная часть R(ω), а по оси ординат мнимая часть Q(ω), комплексную функцию можно представить в виде вектора. При изменении частоты конец этого вектора опишет годограф. Поэтому такая плоскость еще называется плоскостью годографа. На рис. 22.3 для примера приведены годографы устойчивой и неустойчивой цепи.

Рис. 22.3

Чаще при определении устойчивости цепи по критерию Найквиста изменяют частоту от −∞ до +∞. Тогда годограф статических цепей будет замкнутой кривой. В этом случае легко установить факт охватывания характерной точки [+1, j0]. Отметим, что для построения годографа можно менять частоту лишь от 0 до ¥, поскольку годограф для отрицательных частот будет симметричной кривой относительно оси абсцисс. Это свойство годографа объясняется тем, что у физически-реализуемых цепей функция R(ω) четная, а функция Q(ω)нечетная.

Критерий Найквиста удобно использовать тогда, когда известны частотные характеристики разомкнутой цепи, поскольку АЧХ это длина вектора, а ФЧХ угол наклона вектора. Тогда построение годографа осуществить довольно легко.