Методическое пособие для практических (семинарских) занятий по дисциплине «Электротехника и электроника. Электротехника»

· необходимо рассчитать (или измерить) напряжение холостого хода U_хх на выводах активного двухполюсника;

· необходимо рассчитать (или измерить) электрический ток короткого замыкания I_кз;

· определить эквивалентное сопротивление активного двухполюсника по формуле ;

· ЭДС эквивалентного источника напряжения равна напряжению холостого хода E_экв = U_хх.

Метод двух узлов.Метод двух узлов применяется для замены одним эквивалентным источником напряжения E_экв и последовательно включенным эквивалентным сопротивлением R_экв нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих произвольное число пассивных элементов, источников напряжения и источников токов. Это позволяет упростить решение сложных разветвленных электрических цепей.

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов:

,

где - сумма проводимостей всех ветвей между узлами;

- алгебраическая сумма произведений ЭДС источника напряжения на проводимость своей ветви;

- алгебраическая сумма токов источников токов.

Теорема о компенсации:

1. Электрический ток в электрической цепи не изменится, если сопротивление резистора (пассивного элемента) заменить источником напряжения E, ЭДС которой направлена навстречу электрическому току и равна E = I×R (рис.1,a).

2. Изменение тока при изменении сопротивления будет таким же, если вместо приращения сопротивления включить ЭДС ( = I× ), которая направлена навстречу электрическому току I.

M M7v2Eg9QTdKXcyE1nnGg5AYWx8k93Afl1b+YTmFeqV2Xd+rXciEK32VFcTHpbYsZ72xghQvXKFAM PPVWp/H3h9Hh5GBykAyS4f5kkER5Png+HSeD/SnQn+/m43Eef3CcxUlasaKgwtF2894e34erYjuf 8C66HyQUe/Pvi/ZqcwLrpDqTxfpUOzac8OCJ+eD+c+De8N97H3X70Rr9AQAA//8DAFBLAwQUAAYA CAAAACEATFT2u9sAAAAIAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF70L/wzIFb3bTRLTG bEoR9VIQrNHzJjsmwd3ZkN2m8d87xYMeH9/jzTfFdnZWTDiG3pOC9SoBgdR401OroHp7utqACFGT 0dYTKvjGANtycVHo3PgTveJ0iK3gEQq5VtDFOORShqZDp8PKD0jMPv3odOQ4ttKM+sTjzso0SW6k 0z3xhU4P+NBh83U4OgW7j/1j9jLVzltz11bvxlXJc6rU5XLe3YOIOMe/Mpz1WR1Kdqr9kUwQVsF1 tsm4yiAFwfw31wrS9S3IspD/Hyh/AAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAAT AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/W AAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAFXI8wuE AgAA/AQAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAExU 9rvbAAAACAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA3gQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMA AADmBQAAAAA= "/>

R U_ab E U_ab

b b

a)б)

R I I R ΔR ΔE = I·ΔR s wjizqyBxCGqcvZ4KqdGEO0q2sChJH+A+Kq92YjYKC0rdVHkvfy1ngoQqK4rIqLUtYtzZwIaGGUsR txX0LNSUQMCpG3pvbQC58Ey4HjgiW2szBB+O4qPR4egw7aTd/qiTxkXReTEepp3+ODnoFfvFcFgk Hz2pSZpVjBAqPK/bgXx6oT6LXQOj++ih0y7Z7TskHeToFbjR8kSS1Zn21XlluhkMzu3/wg/53/vg dfdXG/wBAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQBP+GRq3AAAAAkBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s TI/NTsMwEITvSH0Haytxo3YiCFWIU1WoCC4caOHuxksSEa/T2GnC27OIA73tz+zMt8Vmdp044xBa TxqSlQKBVHnbUq3h/fB0swYRoiFrOk+o4RsDbMrFVWFy6yd6w/M+1oJNKORGQxNjn0sZqgadCSvf I/Hu0w/ORG6HWtrBTGzuOpkqlUlnWuKExvT42GD1tR8dY/Tq486/+sP0MrtTO067JHveaX29nLcP ICLO8V8Mv/h8AyUzHf1INohOQ6bSW5ZqSJN7ECzI0jUXx7+BLAt5+UH5AwAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAMKHf9SYAgAAHQUAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2Mu eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAE/4ZGrcAAAACQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA8gQAAGRycy9kb3du cmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAAD7BQAAAAA= ">

в) г)

Рис. 1. Схемы, поясняющие метод компенсации

Метод компенсации часто применяется при определении чувствительности токов (напряжений) ветвей схемы к изменению компонентов. В этой работе рассматривается чувствительность в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами не зависящими от времени. При проектировании электрических схем чувствительность рассматривается по следующим причинам:

· компоненты электрических схем изготавливают с отклонением номиналов ±30%, ±20%, ±10%, ±5%, ±2%, ±1%, ±0.5%, ±0.25%, ±0.1%, так как стоимость многократно возрастает при изготовлении компонентов с повышенной точностью и поэтому проверяют чувствительность параметра (электрического тока или напряжения) в процентном отношении на максимально допустимое изменение компонента;

· при оптимизации электрических схем количественная оценка изменения параметров схемы (электрического тока или напряжения) при заданном изменении компонента является коэффициентом чувствительности. Коэффициент чувствительности S тока I_k ветви k от изменения номинала резистора R_m ветви m в электрических цепях определяется согласно зависимости: .

Здесь - коэффициент чувствительности изменение тока I_k от изменения компонента R_m; - приращение тока в ветви k ; - изменение номинала сопротивления от 0 до .

Пример.

Определить:

1) токи всех ветвей схемы, используя МКТ, МУП.

2) ток в выделенной ветви, используя МЭГi, МЭГu.

3) проверить баланс мощностей

4) привести схемы в Ms для измерения токов ветвей, напряжений на элементах, мощностей источников и приемников.

5) Построить потенциальную диаграмму

Дана ПЭС с двумя источниками ЭДС и одним источником тока, в которой для упрощения схемы последовательно соединенные R₅^' и R₇ заменим эквивалентным R₅ = R₅^'+ R₇= 5Ом+5 Ом=10 Ом (рис. 1.1)

Рис. 1.1. Электрическая схема

1.2.1. Метод уравнений Кирхгофа

1. Выбираем условно-положительное направления токов в ветвях схемы.

2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Число их на единицу меньше числа узлов y=N_уз-1(для схемы с четырьмя узлами нужно составить три таких уравнения):

I₂+ I₃– I₆ = 0 - дляузла1;

I₄– I₅+ I₆ = 0 - дляузла2;

–I₁– I₂+I₅=0- дляузла3.

Выбираем произвольно направление обхода каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбирать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну новую ветвь. Только при этом условии уравнения будут независимы друг от друга, а контуры - независимыми. Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, вычисляется по формуле:

k=N_в – N_уз+ 1 – N_т =6-4+1-1=2,

где N_в-число ветвей, N_уз- число узлов,N_т– число источников тока.

I₄R₄–I₆R₆ = -Е₃ - дляконтура1-4-2-1;

I₂R₂ +I₅R₅ + I₆R₆ =Е₂- дляконтура1-2-3-1.

В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс; ЭДС и токи, направленные навстречу обходу - со знаком минус.

Как видно из данного примера, общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей за исключением ветвей с источниками тока.

Рассмотренный метод расчета в большинстве случаев является достаточно громоздким и потому практически нецелесообразным. Поэтому уравнения (1.1) и (1.2) решать не следует.

Задача значительно упрощается при использовании MKT и МУП, в основу которых также положены уравнения Кирхгофа.

1.2.2. Метод контурных токов(МКТ)

Рис. 1.2. Схема для расчета MKT

1. Задаем в каждом независимом контуре схемы свой контурный ток: I₁₁, I₂₂, I₃₃ и выбираем произвольное условно-положительное направление каждого из них (см. рис. 1.2). Выбрать направление контурных токов во всех контурах одинаковые – (по часовой стрелке или против), а направления обхода контуров - по контурным токам.

2. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каж­дого контура, которые для схемы рис. 1.2 имеют вид:

I₁₁ R₁₁ + I₂₂ R₁₂ + I₃₃ R₁₃ = Е₁₁ ,

I₁₁ R₂₁ + I₂₂ R₂₂ + I₃₃ R₂₃ = Е₂₂ , (1.3)

Здесь R₁₁иR₂₂ -собственные сопротивления первого и второго контуров, равные сумме сопротивлений соответствующих контуров.

R₁₁=R₄+ R₆= 5 Ом+10 Ом = 15 Ом; R₁₂= R₂₁= - R₆= -10 Ом;

R₂₂=R₂+R₅ + R₆= 10 Ом +10 Ом +10 Ом= 30 Ом; R₂₃= - R₅= -10 Ом;

I₃₃=J₁=1 A;R₁₃= -R₄= -5 Ом.

R₁₂, R₂₃, и R₁₃- взаимные сопротивления контуров, равные взятому со знаком минус сопротивлению ветви, смежной между контурами. Знак минус у сопротивления берется в случае несовпадения в нем направлений смежных контурных токов, знак плюс - в случае их совпадения.

Е₁₁, Е₂₂- контурные ЭДС, равные алгебраическим суммам ЭДС соответствующих контуров.

Е₁₁ = Е₃=5В; Е₂₂= -Е₂=-40В.

Подставляя численные значения ЭДС, источника тока и сопротивлений, получим:

I₁₁ ·15 - I₂₂ · 10 - 5·1= 5,

-I₁₁ ·10 + I₂₂ · 30 - 10 ·1=-40.

15*I₁₁ -10*I₂₂= 10,

-10*I₁₁ +30*I₂₂=-30.(1.4)

Полученная система уравнений рассчитывается по методу Крамера:

I₁₁ = ∆₁₁/ ∆; I₂₂ = ∆₂₂/ ∆; I₃₃ = ∆₃₃/ ∆ ,

где ∆- определитель системы уравнений (1.4).

Соответствующие определители ∆₁₁и∆₂₂получаемые из ∆путем замены первого и второго столбцов столбцом свободных членов, равны

Найдем контурные токи:

I₁₁ = ∆₁₁/ ∆ = 0/350 = 0A;

I₂₂ = ∆₂₂/ ∆ = -350/350 = -1 A;

I₃₃=J₁=1 A.

4. Значения токов в ветвях находятся как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Например, ток I₆ в смежной ветви совпадает но направлению сI₁₁ и направлен навстречу I₂₂ , поэтому

I₆= I₁₁–I₂₂= 0 А + 1А = 1 А.

5. Ток I₃в несимметричной ветви (по внешней ветви) равен контурному току I₁₁.

I₃= I₁₁ = 0А;

I₁= I₃₃ = 1А;

I₂=– I₂₂ = 1А;

I₄= I₃₃– I₁₁=1А– 0А = 1А;

I₅ = I₃₃ – I₂₂=1А+1 А= 2 А.

Если бы был знак минус перед токами, то он бы показывал, что действительное их направление противоположно выбранному. MKT позволяет уменьшить число уравнений, необходимых для решения задачи до числа независимых контуров.

1.2.3. Метод узловых потенциалов (МУП)

1. Полагаем потенциал одного из узлов схемы (например, узла 4) равным нулю: φ₄ = 0.Тогда потенциал φ₁ = Е₃= 5 В

2. Для остальных узлов составляем уравнения вида:

φ₁G₂₁ +φ₂G₂₂ + φ₃G₂₃ = I₂₂ – для узла 2;

φ₁G₃₁ +φ₂G₃₂ + φ₃G₃₃ = I₃₃ – для узла 3. (1.5)

Здесь и сумма проводимостей ветвей, образующих узлы 2,3:

, , - взяты со знаком минус суммы проводимости ветвей, соединяющих соответственно узлы: 2 и 1,2 и 3,3 и 1:

, -узловые токи, равные алгебраическим суммам ЭДС ветвей, подходящих к соответствующему узлу, деленному на сопротивление этих ветвей. В эту сумму со знаком плюс входят ЭДС, направленные к узлу, и со знаком минус ЭДС,направленные от узла:

;

3. В числовых значениях система уравнений 1.5 записывается:

Решение системы уравнений дает результат:

4.Заключительным этапом является расчет токов ветвей по обобщенному закону Ома, где ЭДС и напряжение на зажимах каждой ветви берутся со знаком плюс, если они совпадают по направлению с током ветви, и со знаком минус, если они не совпадают:

- по первому закону Кирхгофа

I₁=J₁=1 A

Сравнение результатов расчетов методами МКТ и МУП

Баланс мощностей

Контрольные вопросы.

1. Что такое линейная цепь?

2. Как определить режим работы источника (генератор или потребитель)?

3. Что такое входное сопротивление пассивного или активного двухполюсников?

4. В чем состоит принцип суперпозиции?

5. Каков алгоритм расчета цепи методом эквивалентного генератора?

6. Что такое чувствительность?

7. Как можно использовать принцип взаимности для упрощения расчетов цепей с несколькими однотипными источниками?

8. Что такое «ветвь», «неустранимый узел», «контур»?

9. Какой принцип используют при составлении уравнений методом контурных токов и узловых потенциалов?

10. Что такое баланс мощностей?

Модуль 2. Семинар 3. «Анализ и расчет линейных цепей переменного тока»

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач.

3. Самостоятельное решение задач.

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

6. Следующее домашнее задание

Теоретическая часть

Анализ и расчет линейных цепей переменного тока

Мощности в цепях синусоидального тока

Резонансы в электрических цепях

Периодические несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи

Четность и нечетность функций

Алгоритм расчета.

Действующие значения периодического несинусоидального тока и напряжения

Действующее значение периодического несинусоидального тока для основной (первой) гармонической составляющей определяются выражением:

,

где i (t) = I₀ + .

После расчета действующих значений токов всех гармонических составляющих можно определить эквивалентное действующее значение периодического несинусоидального тока и напряжения:

I = = ; U = = .

При выполнении домашней работы число гармонических составляющих должно быть не менее 10, чтобы добиться достаточно полного совпадения исходной формы периодического несинусоидального сигнала с экспериментальной формой сигнала, представленного рядом Фурье.

Мощность периодического несинусоидального тока

Контрольные вопросы.

1. Как можно представить периодический несинусоидальный сигнал?

2. Приведите порядок расчета электрических цепей с несинусоидальными источниками.

3. Как для периодического несинусоидального сигнала рассчитать среднее и действующее значение?

4. Как рассчитать электрическую цепь, подключенную к ЭДС в виде гармонического ряда?

5. Почему в электрических цепях, содержащих ЭДС с периодическим сигналом и подключенной нагрузкой (резисторы, емкости и индуктивности), часто форма тока не совпадает с формой напряжения?

6. Как рассчитать мощности в цепи периодического несинусоидального сигнала?

7. Какие коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные величины?

1. Как рассчитать мощность искажения?

Модуль 5. Семинар 7. «Классический метод расчета переходные процессы»

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач.

3. Самостоятельное решение задач.

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

6. Следующее домашнее задание

Теоретическая часть

Классический метод расчета переходных процессов

1.3.1. Подключение цепи с RL-элементами к источнику постоянного напряжения

Для электрической цепи (рис.1.4) можно составить систему уравнений:

i₁ = i₂ +i₃;

u_L +i₃·R₃ = E;

i₂ · R₂ = E.

Электрический ток второй ветви равен: i₂ =E / R₂.

SA1 (TD) R₃

E₁ R₂ L

Рис. 1.4. Подключение RL-цепи к источнику постоянного тока.

Для вычисления тока в третьей ветви необходимо решить дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Электрический ток определяется в виде суммы двух составляющих:

I3 (t) =iпр + iсв.

Здесь: i_пр - принужленный ток; i_св – свободный ток; постоянная времени .

Свободный ток равен: .

Принужденный ток равен.

Значение тока в третьей ветви получили из решения дифференциального уравнения:

.

Примечание.В природе свободное напряжение или свободный ток невозможно увидеть. Свободное напряжение или ток получаются при решении дифференциального уравнения справой частью равной нулю. Это только математический прием. На осциллограмме можно измерить напряжение или ток переходного процесса, а также до и после установившие значения, а свободное напряжение или свободный ток можно только вычислить.

Используя законы коммутации, найдем постоянную интегрирования:

; Тогда ;

Находим .

Уравнение тока в третьей ветви, проходящий через индуктивность будет:

Определим напряжение на индуктивности:

.

Отключение цепи с RL-элементами от источника постоянного напряжения

Переходные процессы в цепях с RC-элементами

Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение.

Операторный метод расчета переходных процессов в простых цепях с одним накопителем

Расчет переходных процессов методом преобразования Лапласа

Свойства прямого преобразования Лапласа

Операторный метод расчета переходных процессов в сложных цепях с двумя, тремя и более накопителями

Теорема разложения. При расчете электрической цепи операторным методом можно получить результат в виде рациональной дроби, у которой показатели степени целые числа, причем показатели степени числителя меньше показателей степени знаменателя (n < m):

.

Если уравнение H(p) = 0 не имеет кратных корней и корней, равных уравнению G(p) = 0, тогда рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей типа:

,

где p₁, . . . , p_m корни уравнения H(p) = 0.

Коэффициенты A_k о можно определить при разложении рациональной дроби на простые, взяв производную по знаменателю H’(p_k) и подставляя поочередно корни уравнения H(p) = 0

.

Для каждой простейшей дроби получаются оригиналы _·=^ׁׂ .

Частные случаи:

1. Уравнение H(p) = 0 имеет корень равный нулю p=0. В этом случае коэффициент простейшей дроби равен , а оригинал равен A_ke⁰;

2. Уравнение H(p) = 0 имеет корни комплексно-сопряженные
p_1,2= −δ ± jω. В этом случае оригинал функции равен:

.

3. Уравнение H(p)=0 имеет кратные корни p₁. Например, кратность корней k = 3. В этом случае изображение Лапласа будет:

.

Здесь, , ,

.

Задача № 2.1. Рассчитать операторным методом переходные процессы токов в ветвях электрической цепи (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Электрическая схема (а) и операторная схема замещения (б)