Периодический переменный ток, изменяющийся по синусоидальному закону со сдвигом фазы или без сдвига (рис.2), – называется гармоническим током.
Мгновенное значение гармонического тока имеет следующий вид:
i(t) = Im sin (wt +y1) = Im cos (wt + y1 + 90o),
где i - мгновенное значение электрического тока, А; Im - амплитуда электрического тока, А; w - угловая частота, с-1 (w = 2pf ); f - частота, Гц;
y1 - начальный сдвиг фаза в момент времени t = 0, рад.
Рис. 2. График синусоидального тока
Среднее значение синусоидального тока (напряжения или ЭДС) равно:
Iср = .
Действующее значение синусоидального тока (напряжения или ЭДС) за период T рассчитывается по формуле:
I = .
Приборами измеряются действующие значения синусоидального тока.
Рассмотрим понятия о коэффициентах амплитуды и формы.
Коэффициент амплитуды - это отношение амплитудного (максимального) значения тока (напряжения или ЭДС) к действующему значению: .
Коэффициент формы - отношение действующего значения тока (напряжения или ЭДС) к среднему значению: .
Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока.
В электрических цепях синусоидального тока применяются комплексные (символические) величины для решения системы алгебраических уравнений: , Z = R +j×Xр, где Xр =XL – XC – реактивное сопротивление и проводимость Y = g - j×bр, гдеbр = bL – bC - реактивная проводимость.
При переходе от мгновенных величин (оригиналов) к комплексным величинам (изображениям оригиналов) в дифференциальных и интегральных уравнениях используется преобразование Лапласа:
; .
Соотношения между напряжением и током на элементах имеют вид: Индуктивность и конденсатора:
; uc =
+j+j+j
b ON3bFuHj/fEqA+GDsloNzhLCkTysyvOzQuXaHewb7dehFRxifa4QuhDGXErfdGSUn7mRLGtfbjIq 8Dm1Uk/qwOFmkGmSLKVRveUPnRrpoaPmZ70zCNX2s95WtxTla3p8yern+P1U3yNeXsTqDkSgGP7M cMJndCiZaeN2VnsxIKTXNwu2IpwG62k252WDsEwXIMtC/i9Q/gIAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQDhb30dHwQAAPEKAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQCX9hTf3wAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAHkGAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAhQcAAAAA " adj="0,,0" path="m10857,nfc17508,3867,21600,10979,21600,18673v,6815,-3217,13230,-8678,17308em10857,nsc17508,3867,21600,10979,21600,18673v,6815,-3217,13230,-8678,17308l,18673,10857,xe" filled="f"> 900 900
Рис.3. Векторные диаграммы напряжений и токов на индуктивности, конденсаторе и резистор.
Индуктивность, конденсатор и резистор ведут себя в электрических цепях синусоидального тока по-разному (рис.3). Электрический ток, проходящий через индуктивность, отстает от напряжения на 900 (рис.3,а), а электрический ток, проходящий через конденсатор, опережает напряжение на 900 (рис.3,б). Электрический ток, проходящий через резистор, совпадает по фазе с напряжением (рис. 3,в).
В уравнениях используется мнимая величина j = , а j2 = –1, а в полярной форме (показательной) , . Умножение на j любой величины - это означает поворот вектора этой величины на 900, а умножение на j2 или на (-1) - это поворот вектора этой величины на 1800 (рис.4).
Полярная форма записи комплексного электрического тока и напряжения имеют вид , а , которые изображены на комплексной плоскости (рис.4).
Алгебраическую форму записи комплексного числа можно получить, используя формулу Эйлера . Комплексное напряжение в алгебраической форме имеет вид:
= U× cos y2+ j U×sin y2 = Re( )+ Im( ) = a + j·b,
где a = U× cosy2; b = U× siny2.
Закон Ома. Полное комплексное сопротивление можно определить, разделив комплексное напряжение на комплексный ток. Угол поворота wt не влияет на расчет электрической цепи, а указывает, что эти векторы непрерывно вращаются. Поэтому величину ejwt часто не указывают при расчете схем:
,
где z - модуль полного сопротивления.
Составные элементы полного сопротивления: XL – XC = z sin j, Xр = XL –XC, R = z cos j.
Полное сопротивление в алгебраической форме будет Z =R + j·XL, если электрическая цепь состоит из резистора и индуктивности, которые соединены последовательно. Их треугольник сопротивлений изображен на рис.5,а.
Полное сопротивление будет Z =R - j·XC , если электрическая цепь состоит из резистора и конденсатора, которые соединены последовательно.
Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Уравнение для узла электрической цепи синусоидального тока согласно первому закону Кирхгофа имеет вид:
.
Уравнение в ветви электрической цепи синусоидального тока согласно второму закону Кирхгофа имеет вид:
.
Здесь - ЭДС, напряжение и электрический ток – комплексные величины.
Пример.Действующее значение , частота из начальных условий , начальная фаза
Экспериментальные значения:
Расчётные значения:
Амплитудное значение B
Двойное амплитудное значение:
Период
Угловая частота
Мгновенное значение
Комплексное значение U=19,74-150j
Мнимая составляющая комплексного числа вектора:
Модуль 2. Семинар 4 «Мощности в цепях синусоидального тока.»
План занятия
1. Краткое теоретическое введение
2. Разбор типовых задач.
| Активная, реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности. Источники синусоидального тока, работающие в режиме генератора и потребителя. | |
| Расчет простых эл. цепей. Построение векторных и топографических диаграмм. | |
| Расчет сложных разветвленных цепей синусоидального тока матрично-топологическими методами МКТ и МУП. Расчет баланса мощности. |
3. Самостоятельное решение задач.
4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание
5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов
6. Контрольная работа по модулю 2.
7. Следующее домашнее задание
Теоретическая часть