Количественной характеристикой эффекта поля, характеризующей глубину проникновения поля в полупроводник, является дебаевская длина экранирования. Рассмотрим случай, когда полупроводник внесен во внешнее слабое поле. Критерий слабого поля заключается в том, что возмущение потенциальной энергии невелико по сравнению с тепловой энергией, то есть величина поверхностного потенциала ys будет меньше kT/q. Воспользуемся для нахождения распределения электростатического потенциала ys в ОПЗ уравнением Пуассона, при этом будем считать, что ось z направлена перпендикулярно поверхности полупроводника:
, (2.18)
где r(z) – плотность заряда в ОПЗ,
es – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника.
Заряд в ОПЗ состоит из заряда ионизованных доноров и заряда свободных электронов:
. (2.19)
Величина ND+ = n0, а n(z) описывается соотношением (2.16). Поскольку в нашем случае bys << 1, то
. (2.20)
Тогда плотность объемного заряда
. (2.21)
Подставляя значение r(z) из (2.22) в (2.18), получаем:
. (2.22)
Введем характерную величину
(2.23)
и назовем ее дебаевской длиной экранирования.
Тогда уравнение (2.22) придет к виду:
. (2.24)
Решение дифференциального уравнения (2.24) имеет вид:
. (2.25)
Используем граничные условия:
при , получаем C1 = 0,
при z = 0, y(z) = ys получаем С2 = ys
Таким образом, при малом возмущении электростатический потенциал, а следовательно, и электрическое поле спадают по экспоненциальному закону вглубь полупроводника:
. (2.26)
Известно, что если произвольная величина f(z) описывается законом
, (2.27)
то среднее значение z, определяющее центроид функции f(z), равно:
. (2.28)
Таким образом, по физическому смыслу дебаевская длина экранирования LD соответствует среднему расстоянию, на которое проникает электрическое поле в полупроводник при малых уровнях возмущения.
2.6. Контакт металл – полупроводник. Барьер Шоттки
Рассмотрим контакт металл – полупроводник. В случае контакта возможны различные комбинации (p‑ и n‑типы полупроводника) и соотношения термодинамических работ выхода из металла и полупроводника. В зависимости от этих соотношений в области контакта могут реализоваться три состояния. Первое состояние соответствует условию плоских зон в полупроводнике, в этом случае реализуется нейтральный контакт. Второе состояние соответствует условию обогащения приповерхностной области полупроводника (дырками в p‑типе и электронами в n‑типе), в этом случае реализуется омический контакт. И, наконец, в третьем состоянии приповерхностная область полупроводника обеднена основными носителями, в этом случае в области контакта со стороны полупроводника формируется область пространственного заряда ионизованных доноров или акцепторов и реализуется блокирующий контакт, или барьер Шоттки [15, 16].
В полупроводниковых приборах наибольшее применение получили блокирующие контакты металл – полупроводник, или барьеры Шоттки. Рассмотрим условие возникновения барьера Шоттки. Ранее было показано, что ток термоэлектронной эмиссии с поверхности любого твердого тела определяется уравнением Ричардсона:
. (2.29)
Для контакта металл – полупроводник n‑типа выберем условие, чтобы термодинамическая работа выхода из полупроводника Фп/п была меньше, чем термодинамическая работа выхода из металла ФМе. В этом случае согласно уравнению (2.29) ток термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводника jп/п будет больше, чем ток термоэлектронной эмиссии с поверхности металла:
.
При контакте таких материалов в начальный момент времени ток из полупроводника в металл будет превышать обратный ток из металла в полупроводник и в приповерхностных областях полупроводника и металла будут накапливаться объемные заряды – отрицательные в металле и положительные в полупроводнике. В области контакта возникнет электрическое поле, в результате чего произойдет изгиб энергетических зон. Вследствие эффекта поля термодинамическая работа выхода на поверхности полупроводника возрастет. Этот процесс будет проходить до тех пор, пока в области контакта не выравняются токи термоэлектронной эмиссии и соответственно значения термодинамических работ выхода на поверхности.
На рисунке 2.4 показаны зонные диаграммы различных этапов формирования контакта металл – полупроводник. В условиях равновесия в области контакта токи термоэлектронной эмиссии выравнялись, вследствие эффекта поля возник потенциальный барьер, высота которого равна разности термодинамических работ выхода: jк = ФМе – Фп/п.
Для контакта металл – полупроводник p-типа выберем условие, чтобы термодинамическая работа выхода из полупроводника Фп/п была больше, чем термодинамическая работа выхода из металла ФМе. В этом случае ток термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводника jп/п будет меньше, чем ток термоэлектронной эмиссии с поверхности металла, согласно уравнению (2.29).
При контакте таких материалов в начальный момент времени ток из металла в полупроводник p‑типа будет превышать обратный ток из полупроводника в металл и в приповерхностных областях полупроводника и металла будут накапливаться объемные заряды – положительные в металле и отрицательные в полупроводнике.
Рис. 2.4. Зонная диаграмма, иллюстрирующая образование барьера Шоттки
В дальнейшем картина перехода к равновесному состоянию и формирования потенциального барьера для контакта металл – полупроводник p‑типа аналогична рассмотренной выше для контакта металл – полупроводник n‑типа.