Уравнение Пуассона для ОПЗ

Запишем уравнение Пуассона для полупроводника p-типа:

(3.6)

Величина ρ(z) в общем случае, когда отсутствует ограничение на малость возмущения, будет:

. (3.7)

В квазинейтральном объеме, где условие электронейтральности выполняется, ρ(z) = 0.

Тогда

. (3.8)

Поскольку, как было показано в (3.3 – 3.5),

,

,

для ρ(z) в ОПЗ имеем:

. (3.9)

Подставляя (3.9) в (3.6), имеем для нахождения ψ(z) дифференциальное уравнение:

. (3.10)

Домножим выражение для дебаевской длины экранирования, которое представлено в разделе 2.5 формулой (2.23), слева и справа на величину . Тогда

. (3.11)

Следовательно,

. (3.12)

Проинтегрировав (3.12) от бесконечности до некоторой точки ОПЗ, получаем:

. (3.13)

Воспользовавшись определением дебаевской длины экранирования L_D (2.23), а также соотношением , получаем:

. (3.14)

Обозначим

. (3.15)

Из (3.14) и (3.15) имеем:

. (3.16)

Соотношение (3.16) называется первым интегралом уравнения Пуассона.

Знак электрического поля выбирается в зависимости от знака поверхностного потенциала. Если ψ_s > 0 (обеднение основными носителями или инверсия), поле направлено вглубь полупроводника по оси z и положительно. При ψ_s < 0 поле E направлено против оси z и отрицательно.

Величина электрического поля на поверхности E_s будет:

. (3.17)

Поскольку согласно теореме Гаусса величина электрического поля на поверхности E_s связана определенным образом с плотностью пространственного заряда на единицу площади Q_sc, имеем:

. (3.18)

Отметим, что соотношения (3.16 – 3.18), полученные в этом разделе, являются очень важными и будут в дальнейшем неоднократно привлекаться для анализа ОПЗ.