Среднее расстояние локализации свободных носителей от поверхности полупроводника

Для ряда процессов, протекающих в ОПЗ, важной характеристикой является среднее расстояние l_c, на котором локализованы свободные носители заряда, электроны или дырки, от поверхности полупроводника. Определим величину l_c следующим образом:

, (3.37)

где r(z) – плотность заряда свободных носителей в направлении, перпендикулярном поверхности.

Очевидно, что интеграл

(3.38)

равен заряду свободных носителей в ОПЗ. Для случая обогащения поверхности основными носителями (для полупроводника p‑типа – дырками) величина l_c будет после соответствующего интегрирования равна:

. (3.39)

Отметим, что соотношение (3.39) применимо и для случая инверсии, если под l_c понимать центроид расположения полного заряда Q_sc в ОПЗ.

Для области слабой инверсии электрическое поле E(z) в пределах инверсионного слоя постоянно и равно полю на поверхности E_s. Электростатический потенциал линейно спадает по инверсионному слою:

. (3.40)

При этом распределение концентрации n(z) по глубине инверсионного слоя будет:

. (3.41)

Тогда из (3.39) и (3.41) с учетом (3.4, 3.5) и (3.18) следует:

. (3.42)

Как следует из (3.42), в области слабой инверсии среднее расстояние l_c свободных носителей заряда слабо зависит от поверхностного потенциала y_s, а следовательно, и от избытка свободных носителей в канале. Зависимость l_c от температуры T близка к линейной.

Для области очень сильной инверсии, когда Q_n >> Q_B, выражение для центроида электронов в инверсионном канале дается соотношением (3.39). В промежуточной области значений поверхностного потенциала среднее расстояние l_c необходимо рассчитывать, пользуясь численными методами, по уравнению (3.37).

На рисунке 3.6 приведен результат такого численного расчета. Обращает на себя внимание тот факт, что значения центроида l_c лежат в пределах (20¸300) Å в реально достижимых случаях как для случая обогащения, так и инверсии. Особой точкой является значение потенциала плоских зон ψ_s = 0, где значение l_c равняется дебаевской длине экранирования, достигающей десятых долей микрона.

Рис. 3.6. Рассчитанное численно среднее расстояние локализации электронов l_c в ОПЗ в зависимости от избытка электронов Γ_n при разных температурах. Пунктирная линия соответствует самосогласованному квантовому расчету Стерна для многих уровней при T = 300 К для кремния p‑типа [2, 21]