Коэффициент переноса. Фундаментальное уравнение теории транзисторов

Коэффициент передачи эмиттерного тока a характеризует изменение коллекторного тока I_к при вызвавшем его изменении эмиттерного тока I_э.

Ток коллектора обусловлен дырками, дошедшими от эмиттерного перехода до коллекторного. Поэтому важны доля дырок, дошедших до коллекторного перехода и нерекомбинировавших в базе, и доля дырочного тока в эмиттерном токе.

. (5.9)

Зависимость коэффициента инжекции g от параметров биполярного транзистора была получена ранее. Рассмотрим зависимость коэффициента переноса от параметров биполярного транзистора.

Из уравнения непрерывности

(5.10)

следует, что в стационарном режиме

. (5.11)

Решение дифференциального уравнения (5.11) в общем виде будет иметь следующий вид:

. (5.12)

Запишем граничные условия для (5.11) исходя из того, что заданы эмиттерный ток J_эр = g J_э и коллекторное напряжение U_к.

, (5.13)

. (5.14)

Найдем коэффициенты А₁ и А₂.

Продифференцировав уравнение в решении (5.12) по x, получаем:

,

с учетом граничных условий (5.13) имеем:

, (5.15а)

с учетом граничных условий (5.15а) имеем:

. (5.15б)

Решая совместно уравнения (5.15а, б), находим коэффициенты A₁ и A₂. Затем подставляем A₁ и A₂ в уравнение (5.12) и получаем следующее выражение для распределения концентрации инжектированных дырок р_n(х) по базе биполярного транзистора:

. (5.16)

Последний сомножитель в квадратных скобках уравнения (5.16) всегда меньше единицы.

Наконец, разложив гиперболический синус sh(x) и гиперболический косинус ch(х) в ряд при условии x < W << L_р, получаем закон распределения дырок р_n(х) по базе биполярного транзистора в первом приближении:

. (5.17)

Выражение (5.17) показывает, что в первом приближении распределение дырок р_n(х) по толщине базы линейно. Этот вывод понятен и по физическим соображениям. Поскольку ток в базовой области диффузионный и примерно постоянен по ширине базы (так как рекомбинация мала), градиент концентрации дырок постоянен: .

Так как коэффициент переноса

,

то

.

Для того, чтобы точно определить коллекторный ток J_к, продифференцируем уравнение (5.16) для концентрации дырок р(х) и рассчитаем это выражение при х = W. Тогда

. (5.18)

Умножив (5.18) на qDS, получаем с учетом того, что гиперболический стремится к единице,

. (5.19)

Следовательно, коэффициент переноса имеет вид:

. (5.20)

Уравнение (5.20) является очень важным соотношением для биполярных транзисторов и по этой причине называется фундаментальным уравнением теории транзисторов.

Разлагая гиперболический косинус ch(x) в ряд при условии, что x < W, и используя первый член в этом разложении, получаем:

. (5.21)

Полагая значение W = 0,2L, получаем:

.

Таким образом, значение коэффициента переноса будет составлять величину, близкую к единице (отличие не более 2%) при условии, что ширина базы биполярного транзистора W по крайней мере в 5 раз меньше, чем диффузионная длина.

Поскольку коэффициент передачи a определяется произведением коэффициентов инжекции g и переноса как , то у сплавных транзисторов, где ширина базы составляет W = 10¸20 мкм, в коэффициенте передачи a главную роль играет коэффициент переноса . У диффузионных транзисторов ширина базы равняется W = (1¸2) мкм и главную роль в коэффициенте передачи a играет коэффициент инжекции g.