Неравновесное уравнение Пуассона

Запишем уравнение Пуассона для ОПЗ полупроводника р‑типа, находящегося в неравновесных условиях, в виде:

. (6.48)

Здесь n и р – неравновесные концентрации электронов и дырок, описываемые соотношением (6.37), N_D⁺ и N_A^– – концентрации ионизованных доноров и акцепторов. Подставляя (6.37) в (6.48) и учитывая, что в квазинейтральном объеме

,

получаем аналогично по сравнению с равновесным случаем:

. (6.49)

Проводя интегрирование уравнения (6.49), получаем первый интеграл неравновесного уравнения Пуассона в виде:

. (6.50)

Обозначим F(ψ, φ₀, φ_c) величину, равную

. (6.51)

Знак электрического поля Е выбирается так же, как и в равновесном случае. Если ψ_s > 0, то Е положительно, если ψ_s < 0, поле Е отрицательно.

Согласно теореме Гаусса величину электрического поля на поверхности E_s однозначно определяет заряд Q_sc в ОПЗ:

, (6.52)

где L_D – дебаевская длина экранирования, определяемая соотношением:

.

Для области инверсии, в которой работает МДП‑транзистор, выражение для заряда Q_sc значительно упрощается. Действительно, поскольку величина ψ_s положительна и велика, из (6.51) и (6.52) следует, что заряд Q_sc равен:

. (6.53)

Заряд электронов Q_n в канале определяется разностью между полным зарядом Q_sc и зарядом ионизированных акцепторов Q_В:

. (6.54)

Для области слабой инверсии пока ионизованных акцепторов

. (6.55)

Для области сильной инверсии, когда , заряд ионизованных акцепторов не зависит от поверхностного потенциала ψ_s. Его величина равна:

. (6.56)

Здесь и далее мы приняли для простоты, что концентрация основных носителей дырок p_p0 в квазинейтральном объеме равна концентрации легирующей акцепторной примеси N_A. Выражения для заряда свободных носителей Q_n в канале получаем из (6.53 – 6.56).

Для области слабой инверсии

. (6.57)

Для области сильной инверсии

. (6.58)

В начале области сильной инверсии, когда , для выражения заряда электронов Q_n в канале необходимо пользоваться соотношением (6.54), подставляя в него значения Q_sc из (6.53), а значения Q_В – из уравнения (6.56).

Таким образом, решение неравновесного уравнения Пуассона даст выражения (6.57, 6.58), описывающие зависимость заряда электронов Q_n в инверсионном канале МДП‑транзистора от поверхностного потенциала и квазиуровня Ферми.