СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Разложение дисперсии ряда по частотам с целью определения существенных гармонических составляющих называется спектром ряда динамики (спектром ряда Фурье).

График зависимости от периода называется периодограммой. Применение ортогональных функций, рассмотренных выше, определяет периодограмму в точках .

График зависимости от частоты (график спектра) удобнее, т.к. квадраты амплитуд, вычисленные для ортогональных слагаемых, располагаются на этом графике с одинаковыми промежутками, величина которых не зависит от Т. Квадрат теоретической амплитуды называют интенсивностью.

График спектра нужен для более наглядного изображения распределения дисперсии между отдельными частотами. Если частоте соответствует пик на графике спектра, то в исследуемом ряду есть существенная гармоническая составляющая с периодом .

А целью спектрального анализа является определение основных, существенных гармонических составляющих случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по различным частотам.

Достоинством спектрального подхода является то, что он позволяет исследовать смесь регулярных и нерегулярных спадов и подъемов, выделять периодические в среднем гармоники, получать оценку их периода и по величине оценки функции спектральной плотности судить об их вкладе в дисперсию процесса, т.е. этот процесс позволяет выделять скрытые периодичности.

Исследования показывают, что наличие непериодического тренда (тренда с бесконечным периодом) дает скачок на нулевой частоте, т.е. в начале координат спектральной функции.

Следовательно, вид спектра нестационарного ряда динамики отличается от вида спектра стационарного ряда того же явления лишь в начале исследуемой частотной полосы, и если низкие частоты исследователя не интересуют, при анализе можно пользоваться нестационарным рядом.

При наличии циклических составляющих в соответствующих частотах имеется всплеск, ограничивающий вклад гармоник в дисперсию ряда.

Если ряд слишком “зазубрен”, функция спектральной плотности резко возрастает в высоких частотах.

Что касается спектра, то типичным для больших экономических процессов является убывание спектральной плотности по мере того, как возрастает частота. Такой спектр обычно может быть очень хорошо представлен моделью авторегрессии.

Исследование циклических процессов показывает, что, в отличии от процесса автокорреляции, при котором автокорреляционная функция при возрастании k затухает, а также в отличии от процессов скользящего среднего и смешанного процесса, которым соответствует специфическое поведение автокорреляционной функции, для линейного циклического процесса автокорреляционная функция не затухает, т.е. мы не имеем .

Тогда модель ВР, который базируется на основе спектрального и гармонического анализа, представляет из себя совокупность основных гармоник с максимальным вкладом в дисперсию процесса.

Изучаем периодограмму. Как правило, на ней 2-3 пика. Устанавливаем частоту соответствующей гармоники с максимальной интенсивностью. Находим оценки параметров этих наиболее существенных гармоник (двух, трех – больше не надо) и удаляем их из ВР. Затем остатки ВР, получающиеся после исключения этих существенных гармоник снова изучаем в той же последовательности, т.е. снова строим периодограмму для этих остатков, следовательно, высвечиваются те гармоники, которые на фоне самых больших были бы не заметны и т.д. Повторяем до тех пор, пока не достигаем нужной точности аппроксимации этой моделью процесса.

Понятие спектра, являясь основополагающим в спектральном анализе, для экономистов играет важную роль еще и потому, что существует функциональная связь выборочного спектра и оценок автоковариационной функции.