ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

 

Тригонометрические функции являются периодическими с периодом , т.е.

(1)

Отсюда следует, что

(2)

Мы можем линейно преобразовать аргументы, сохранив свойство периодичности. Функции периодичны с периодом , т.е.

(3)

Обратная величина называется частотой. Она равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале.

Иными словами, именно такое число раз функция повторяет свои значения. Умножение на соответствует вычитание - сдвигу графика косинуса или синуса. Функция достигает максимума в точках , т.е. при .

Угол называется фазой. Обычно выбирается так, чтобы первый max достигался в точке . В таком случае .

При t=0 указанные тригонометрические функции равны, соответственно .

Сдвинутые косинусоида и синусоида являются линейными комбинациями обычной косинусоиды и обычной синусоиды и наоборот. Из тригонометрической формулы имеем

(4)

где (5)

или, что эквивалентно,

(6)

Коэффициент R, являющийся максимумом функции , называется амплитудой этой функции. Выражение (4) можно записать также в виде , где , но обычно предпочитают использовать функцию косинус.

С тригонометрическими функциями довольно удобно работать вследствие того, что они обладают определенными свойствами ортогональности.

Мы рассмотрим здесь свойства ортогональности сумм на множестве 1,…,T. Рассмотрим частоты , где

(недостающую единицу принимают за )

Период при этом равен . Функции косинус и синус с такими частотами являются ортогональными. Чтобы показать это, удобно воспользоваться соотношениями:

(7)

При этом

(8)

()

=изменяем (сдвигаем) пределы суммирования – от 0 до (Т-1), а в формулах вместо t подставим (t+1), чтобы ничего не изменилось=

(т.к.)

Покажем справедливость ()

Действительно, при k=j=0 имеем из ():

при из (8)

Далее, покажем, что ()=0

Следовательно, и

Итак, получаем:

Приравнивая действительные и мнимые части в соотношении (8), с учетом того, что в (9) нет мнимых частей), получаем:

(10)

(11)

Подобным же образом можно показать, что

(12)

Кроме того, полагая j=0 в (10) и (11), получаем:

(13)

(14)

Если Т – нечетное, то .

При этом образуют множество из Т последовательностей по Т чисел, любые две из которых ортогональны.

Если Т – четное, то таким множеством является совокупность функций и . Сумма квадратов членов каждой последовательности равна , за исключением последовательностей 1 и (-1), у которых она равна Т.