Пусть потенциальная энергия имеет вид
V(r) = V1(x) +V2(y) +V3(z) ºV1(r1) +V2(r2) +V3(r3) =.
Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых
= , = -i2 /2m×Ñ2j +Vj(rj).
Так как
= , j¹k,
то
= при всех j,k = 1,2,3,
а значит
= .
В полный набор можно включить четыре оператора и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями Ej.
Стационарное уравнение Шредингера
yE(r) = EyE(r)
решаем методом разделения переменных:
yE(r) = y1(r1) y2(r2) y3(r3).
Подстановка дает:
y2 y31 y1 + y1 y32 y2 + y1 y23 y3 = E y1 y2y3.
Отсюда, в силу независимости переменных rj,
jyj = E Þ 1/yjj yj = Ej,
где
= E.
Получаем три отдельных уравнения
jyj = Ejyj Þ -i2/2md2/drjyj(rj) +Vj(rj) yj(rj) = Ejyj(rj).