УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Делая в этом выражении подстановки

 

E ® i, p® -iÑ,

получим

-= (-c²²Ñ² + m²c⁴)y = 0

или

Ѳy - y = 0.

 

Вводя инвариантный оператор Даламбера

ð = ,

 

запишем уравнение в явно ковариантной форме

 

ðy + ()²y = 0

К нему можно прийти и из ковариантного соотношения

 

p² = pⁿp_n = m²c²,

 

делая в нем подстановки

 

pⁿ ® -iº -iÑⁿ.

 

Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.

Умножая слева на y^*, а сопряженное уравнение слева на y и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности

 

+ divj= 0,

 

выражающее некий закон сохранения, в котором

 

и

.

 

Можно поступить иначе: умножить на y^*, а сопряженное уравнение на y и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме

 

Ñ^mj_m = 0,

где

j_m = y^*Ñ_my - yÑ_my^*.

 

Расписывая по компонентам, получим те же результаты.

Вектор jполучился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была

 

r = |y|² º y^*y,

 

а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое r можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для y и . И их всегда можно подобрать так, что будет r<0. Мало того, если при t=0 r>0, то по истечении времени может быть как r>0, так и r<0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения

 

,

 

где в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь a₁, a₂, a₃ и b - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем y многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):

 

y = .

 

Поэтому на самом деле нужно писать не y, а y_s(r,t), и отсюда уже почти ясно, что a_j и b должны быть не обычными числами, а матрицами.

Каждый компонент y_s должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона

- ,

 

так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между pи Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты a_j, b. Для этого берем уравнение

и действуем на обе его части оператором =:

 

(= ().

 

Подставляя явное выражение и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности a_j и b) перемножение, получим

 

-

 

(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать

 

a_ia_j + a_ja_I = 2d_ij, a_ib + ba_I = 0, b² =1. (***)

 

Отсюда уже абсолютно ясно, что a_j, b - матрицы, а потому - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку должен быть эрмитовым оператором, то a_j, b-квадратные матрицы, причем порядка N´N, где N - число компонентов у y_s. Система уравнений (***) неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N=16). Одно из возможных решений таково:

a_i = , b = ,

 

где s_i - матрицы Паули:

 

s₁=, s₂=, s₃=; I=.

 

Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.

Итак, получаем уравнение Дирака

 

+bmc²y,

 

где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (***), и один из наборов выписан явно выше. Функция y на самом деле есть 4-компонентный столбец

y(r,t) = ,

 

и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:

+bmc²y_s

 

На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций y_s.

Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на b и ввести новые матрицы 4´4

g⁰ = b, g^j = ba_j = g⁰a_j,

 

удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

 

g^m gⁿ + gⁿg^m = 2g^mn.

Тогда получим

igⁿy = 0.

 

Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.

Введем сопряженную функцию

y⁺ = (y₁^*,y₂^*,y₃^*,y₄^*),

 

которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:

 

-a_j + bmc²y⁺.

Умножая уравнение Дирака слева на y⁺, а сопряженное справа на y, найдем

iy⁺ a_j y⁺ + bmc²y⁺y.

и

 

- iya_j y + bmc²y⁺y

 

Производим вычитание

 

(y⁺a_j y).

 

В итоге получаем уравнение непрерывности

 

+ divj= 0,

где

r = y⁺y,j= cy⁺ay [a º (a₁, a₂, a₃)].

 

Величина r положительно определена:

 

r = êy₁ê² + êy₂ê² + êy₃ê² + êy₄ê²

 

и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.

Будем искать решение уравнения Дирака в виде

 

y_Ep(r,t) = w(E,p); w º.

 

Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц a_j и b, получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений

 

Eu = c(sp)v + mc²u

 

Ev = c(sp)u - mc²v ,

 

где

s= {s₁, s₂, s₃}, sp= s₁p¹ + s₂p² + s₃p³ = s_jp^j.

 

Условие нетривиальной разрешимости дает

 

= 0

 

откуда

Е² - m²c⁴ - c²(sp)² = 0.

 

Раскрываем

(sp)² = (sp)(sp) = s_jp^j s_kp^k = (s_js_k)(p_jp_k).

 

Учитывая, что

s_js_k = 0 (j ¹k), (s_j)² = I,

 

получим

(sp)² = p²,

 

и условие разрешимости запишется как

 

Е² - m²c⁴ - c²p² = 0.

 

Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при

 

Е = º ±e_p,

 

а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).

Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=e_p задает u произвольно, тогда из второго

 

v = u.

 

Но само u содержит две линейно независимые функции:

 

u(p) = u₀₁(p) +u₀₂(p) = .

 

Поэтому находим при Е=e_p>0:

 

w_+l = , (l = 1,2).

 

Вторую пару решений получим при Е = -e_p < 0. Теперь будем считать заданным

v(p) = v₀₁(p) = v₀₂(p) =

 

и из первого уравнения системы получим

 

u = -v.

 

Поэтому находим при Е = -e_p < 0:

 

w_-l(p) = .

 

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и -), а также величина l. Ее значения l=1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.