УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

 

 

Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:

y (r,t) = .

 

Рассмотрим нерелятивистский предел

 

v << c: p² << m²c², e_p » mc².

 

В функции w_+l(p) с положительной энергией имеем:

 

 

и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w_-l(p) с отрицательной энергией получим

 

 

т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).

Кроме того, всегда при l₁ ¹l₂

 

= 0.

 

Действительно,

.

 

Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что

 

r = y⁺y,

 

запишем это условие как

 

{w_+l⁺(p) w_+l(p) + w_-l⁺(p) w_-l(p)} = const.

 

(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.

Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е₁=-e_p1 в состояние с Е₂=-e_p2, где e_p2>e_p1. При этом выделится «даровая» энергия

 

DЕ = Е₁ - Е₂ = e_p2 - e_p1 > 0.

 

Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2mc² и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).

Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.

1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).

2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.

3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.

Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц, с энергией - µ (и с зарядом - µ, если частицы - электроны).

При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p, и постоянство вероятности запишется как

 

{w_+l⁺(p) w_+l(p)+ w_-l⁺(p) w_-l(p)} = C.

 

Будем считать, что функции w_+l описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина

w_+l⁺(p)w_+l(p)

 

будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=e_p, p, l (l - значение спиновой переменной), так что

 

w_±l⁺w_±l º N_±(p).

 

Введем число частиц в системе N, равное

 

N ={N_-l(p)+ N_+l(p)}.

 

Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим

 

Е = e_p{N_+l(p) + N_-l(p)}

 

(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или e_p, или - e_p). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума

 

N_-l(p) = 1, N_+l(p) = 0,

 

так что

N₀=.

 

Для физических значений числа частиц и энергии имеем:

 

N_физ = N - N₀ = {N_+l(p) - [1 -N_-l(p)]}

и

Е_физ = Е - Е₀ = e_p{N_+l(p) + [1 - N_-l(p)]}.

 

Так как N_-l(p)£1 (оно равно 0 или 1), то Е_физ>0. Более того, величина N_физ сохраняется. Введем

 

_l(p) º1-N_-l(p).

 

Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном

 

N_l(p) º N_+l(p).

 

Тогда получим

Е_физ = e_p{N_l(p) + _l(p)}.

 

Поэтому _l(p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.

Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:

 

N_физ = {N_l(p) - _l(p)}.

 

Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд е. Тогда полный заряд будет

 

Q = eN = e{N_+l(p) + N_-l(p)}.

 

Наблюдать же будем разность над фоном

 

Q_физ = Q - Q₀ = Q - eN₀ = e{N_l(p) - _l(p)}.

 

Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а -е. Тогда это будет записываться как

 

Q_физ = {eN_l(p) + (-e) _l(p)},

 

и все хорошо. Уравнение непрерывности

 

+ divj= 0

 

теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда

 

+ divj_e = 0,

где

r_е = е(r - r₀), j_e = ej.

 

Допускает интерпретацию и сохранение величины

 

N_физ = {N_l(p) - _l(p)}.

 

Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.

Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы

 

1 = ¥,

 

т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с e_p и -e_p не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц e_p и -e_p . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с e_p может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией. Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с - e_p может стать частицей с e_p, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.

Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака

 

,

 

где в явной форме записи

 

.

 

Рассмотрим оператор орбитального момента

 

,

 

у которого третий компонент есть

 

.

 

Найдем его коммутатор с гамильтонианом:

 

 

Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:

 

¹0, j = 1, 2, 3,

 

а потому не сохраняется.

Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть

.

 

Тогда из будет следовать

 

;

 

в частности,

 

.

 

Оператор не действует на r, а потому оператор должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через a_j и b. Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.