Порядок расчета методом уравнений Кирхгофа

Расчет цепи данным методом заключается в решении уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. В результате расчета находят неизвестные токи ветвей. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных, т.е. числу ветвей цепи. При этом число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов схемы qминус единица, т.е. q – 1.

Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа можно выбирать любые контуры, однако нужно следить, чтобы в каждом новом контуре содержалась хотя бы одна новая ветвь, не входившая в другие, ранее выбранные контуры. Наиболее удобно выбирать контуры в виде ячеек схемы, т.е. контуров, не содержащих внутри себя ветвей. При таком выборе контуров можно быть уверенным, что все уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, будут независимыми.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа обладает наглядностью, позволяет сразу определить токи во всех ветвях, однако он является весьма трудоемким, поскольку требует решения системы из большого числа уравнений, равного числу ветвей.

 

Пример 4.1.

Задание: для цепи (рис. 4.2) определить токи в ветвях и показание вольтметра, если Е₁=40 В; Е₂=60 B; Е₃=50 B; Е₆=70 B; J=2 A; R₁=100 Ом; R₂=60 Ом; R₃=50 Ом; R₄ = R₅=75 Ом; R₆ = R₈=30 Ом; R₇=20 Ом.

Решение. 1.Упростим цепь, произведя эквивалентные преобразования для ветви с сопротивлениями R₆, R₇, R₈, ЭДС Е₆ и источником тока J. Вначале преобразуем источник тока J в эквивалентный источник ЭДС Е^*=J*R₇:

Е^*=2*20=40 В.

Сопротивления R₆, R₇ и R₈ включены последовательно, заменим их эквивалентным R₆^*:

R₆^*=R₆+R₇+R₈=30+20+30=80 Ом.

Также в рассматриваемой ветви оставим один общий источник Е₆^*:

Е₆^*=Е₆ – Е^*=70 – 40=30 В.

После упрощения цепь имеет вид, показанный на рис. 4.3. Для указанной цепи выберем направления токов во всех ветвях, обозначим узлы и выберем направления обхода контуров (по часовой стрелке).

 

 

Рисунок 4.3 – Цепь после упрощения.

 

 

2.Составим систему из 6 уравнений (шесть неизвестных токов), при этом три уравнения составим по первому закону Кирхгофа (т.к. q=4, а q – 1=3), например для узлов a, b и c, а остальные три – по второму закону Кирхгофа для контуров I, II и III:

I₁ – I₄ – I₆ = 0

(1.15)

I₄ + I₂ – I₅= 0

I₅ + I₆ – I₃ = 0

E₁ – E₂=I₁ R₁+I₄ R₄ – I₂ R₂

E₂ + E₃=I₂ R₂+I₅ R₅ + I₃ R₃

Е₆^*= I₆ R₆^* – I₄ R₄ – I₅ R₅

Произведя соответствующие подстановки, получим:

I₁ – I₄ – I₆ = 0

I₄ + I₂ – I₅= 0

(1.16)

I₅ + I₆ – I₃ = 0

–20 = 100 I₁+75 I₄ – 60 I₂

110 = 60 I₂+ 75 I₅ + 50 I₃

30 = 80 I₆ – 75 I₄ – 75 I₅

Решая полученную систему, например при помощи программы Mathcad, получим следующие значения токов:

I₁ = 0,318, A

I₂ = 0,595, A
I₃ = 0,913, A
I₄ = – 0,214, A
I₅ = 0,381, A

I₆ = 0,532, A

 

3.Найдем напряжение U_nm (показание вольтметра). Для этого составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abnm:

E₁ = I₄ R₄ – I₂ R₂ + U_nm ,

Откуда U_nm = E₁ – I₄ R₄ + I₂ R₂ = 40 + 0,214*75 + 0,595*60 = 91,75 B.