Теоретические сведения

5.1 Метод контурных токов

В основу данного метода положено понятие контурного тока. Контурный ток представляет собой условный (воображаемый или расчетный), единый для всех ветвей контура ток, который как будто бы циркулирует в данном контуре.

Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете многоконтурных схем число решаемых уравнений. Для составления уравнений по методу контурных токов кроме понятия контурный ток вводят такие понятия как контурная ЭДС, собственное сопротивление контура и взаимное сопротивление контуров.

Контурные токи, число которых равно числу независимых контуров, принимаются за искомые неизвестные и уравнения составляются именно для них. Как правило, контурные токи обозначают двумя индексами (контурный ток первого контура – I₁₁, второго – I₂₂, третьего – I₃₃ и т.д.).

Контурные ЭДС (которые также обозначают двумя индексами Е₁₁, Е₂₂, Е₃₃,…), представляют собой алгебраические суммы всех ЭДС, действующих в соответствующем контуре.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, образующих данный контур. Собственные сопротивления также обозначают двойными индексами (R₁₁, R₂₂, R₃₃, …).

Взаимное сопротивление – это сопротивление ветви, принадлежащей двум смежным контурам. Взаимные сопротивления обозначают двойными индексами по номерам смежных контуров (R₁₂, R₂₃, R₁₃, …).

С учетом изложенного, система уравнений для любой схемы, содержащей n контуров имеет вид:

E₁₁= R₁₁ I₁₁+ R₁₂ I ₂₂ + R₁₃ I₃₃ +…+ R_1n I_nn

E₂₂= R₂₁ I₁₁+ R₂₂ I ₂₂ + R₂₃ I₃₃ +…+ R_2n I_nn

E₃₃= R₃₁ I₁₁+ R₃₂ I ₂₂ + R₃₃ I₃₃ +…+ R_3n I_nn

…………………………………………..

E_nn= R_n1 I₁₁+ R_n2 I ₂₂ + R_n3 I₃₃ +…+ R_nn I_nn

 

Искомые контурные токи могут быть найдены, например, с помощью определителей:

I₁₁= ; I ₂₂ = ; I_кк = ; I _nn= ,

где – определитель системы, элементами которого являются собственные и взаимные сопротивления со своими знаками

Условие 5.1. Если все контурные токи направлены в одну сторону, то собственные сопротивления контуров имеют знак ”+”, а все взаимные сопротивления – знак ”–”).

=

 

 

а – тот же определитель, k–й столбец которого заменен столбцом контурных ЭДС.

Во внешних ветвях, т.е. в ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами, найденный контурный ток является действительным током в ветви (с учетом знака), а во внутренних (смежных) ветвях действительный ток определяется алгебраической суммой контурных токов двух смежных контуров (разности контурных токов, если выполнено условие 5.1).

5.2 Рекомендации к применению метода контурных токов:

1.Для составления контурных уравнений целесообразнее выбирать контуры по ячейкам.

2.С целью единообразия формы записи (уравнений, матрицы сопротивлений, действительных токов в смежных ветвях) целесообразно все контурные токи направлять одинаково (по часовой стрелке или против).

3.Если требуется определить ток только в одной ветви, то целесообразно сделать искомый ток контурным, т. е. ветвь должна быть внешней.

4.Если в схеме имеется ветвь с известным током, то этот ток следует сделать контурным, в результате число уравнений уменьшается на единицу.

 

Пример 5.1 Для схемы (рис. 5.1) методом контурных токов определить токи в ветвях.

 

Рисунок 5.1 – Пример выбора контурных токов

Данные для расчета цепи:

Е₁=40 В; Е₂=60 B; Е₃=50 B; Е₆=70 B; J=2 A; R₁=100 Ом; R₂=60 Ом; R₃=50 Ом; R₄ = R₅=75 Ом; R₆ = R₈=30 Ом; R₇=20 Ом

Алгоритм решения задачи методом контурных токов:

1. Выберем направление всех контурных токов, совпадающее с направлением обхода контуров, как показано на рис. 5.1, т.е. по часовой стрелке. При этом в первом контуре действует ток I₁₁, во втором – I₂₂ и в третьем – I₃₃. Эти токи будут искомыми.

 

2.Определим контурные ЭДС:

Е₁₁ = Е₁ – Е₂ = 40 – 60 = - 20 , В

Е₂₂ = Е₂ + Е₃=60 + 50 = 110 , В

Е₃₃ = Е₆^*= 30 , В

3.Определим собственные и взаимные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₄ + R₂ = 100 + 75 + 60 = 235 Ом

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₅ = 60 + 50 +75 = 185 Ом

R₃₃ = R₄ + R₅ + R₆^*= 75 + 75 + 80 = 230 Ом

R₁₂ = R₂₁ = R₂ = 60 Ом

R₁₃ = R₃₁ = R₄ =75 Ом

R₃₂ = R₂₃ = R₅ =75 Ом

4.Составим по второму закону Кирхгофа уравнения для выбранных контуров. Эти уравнения имеют вид:

E₁₁= I₁₁ R₁₁ – I₂₂ R₁₂ – I₃₃ R₁₃

E₂₂= – I₁₁ R₂₁ + I₂₂ R₂₂ – I₃₃ R₂₃

E₃₃= – I₁₁ R₃₁ – I₂₂ R₃₂ + I₃₃ R₃₃

Произведя соответствующие подстановки, получим:

–20 = 235 I₁₁ – 60 I₂₂ – 75 I₃₃

110 = – 60 I₁₁ + 185 I₂₂ – 75 I₃₃

30 = – 75 I₁₁ – 75 I₂₂ + 230 I₃₃

Решая полученную систему (при помощи программы Mathcad) получим следующие значения контурных токов:

I₁₁ = 0,318 А

I₂₂ = 0,913 А

I₃₃ = 0,532 А

5.Определяем токи в ветвях:

I₁ = I₁₁ = 0,318 А

I₂ = I₂₂ – I₁₁ = 0,913 – 0,318 = 0,595 А

I₃ = I₂₂ =0,913 А

I₄ = I₁₁ – I₃₃ = 0,318 – 0,532 = –0,214 А

I₅ = I₂₂ – I₃₃ = 0,913 – 0,532 = 0,381 А

I₆ = I₃₃ = 0,532 А