Теоретические сведения

6.1 Метод узловых потенциалов

Этот метод основан на применении первого закона Кирхгофа и обобщенного закона Ома: . Метод позволяет составить систему уравнений, из которой можно определить потенциалы всех узлов схемы, а затем по известным разностям узловых потенциалов определить все токи в ветвях.

Как следует из обобщенного закона Ома, ток любой ветви определен, если известны потенциалы узлов, к которым подключена данная ветвь, или известно напряжение, под которым эта ветвь находится.

Также как и в методе контурных токов, введем следующие понятия:

- узловой ток;

- собственная (узловая) проводимость узла;

- общая проводимость между узлами.

Узловой ток, обозначаемый двумя индексами (например для узла k как I_kk),- это алгебраическая сумма токов источников, действующих в ветвях, подсоединенных к рассматриваемому узлу k. Если в какую – либо ветвь f включен источник ЭДС E_f , то ток I_f от такой ветви определяется как:

I_f = E_f ^. G_{f ,}

где G_f – проводимость ветви f . Если ЭДС и ток источника тока направлены к узлу, то их записывают со знаком “+”, а если от узла – то со знаком “ – ”.

Собственная (узловая) проводимость узла k (G_kk) – это сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к этому узлу (проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю).

Общая проводимость G_{f k} между узлами f и k – это сумма проводимостей ветвей, включенных между узлами f и k.

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов следует помнить, что в электротехнике принято вести отсчет потенциалов от потенциала земли, который принимают равным нулю, поэтому для любой схемы, содержащей n узлов, уравнений составляют на единицу меньше, чем число узлов, т.е. n-1 ,т.к. один из узлов схемы заземляется, его потенциал становится известным (равным нулю) и число неизвестных потенциалов уменьшается на единицу.

В общем случае, для любой схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений имеет вид:

 

.....………………………………………

Из системы уравнений (6.1) видно ,что собственные проводимости берутся со знаком “+”, а общие – со знаком “ – ”.

Замечания:

1.Если между узлами нет соединяющих ветвей, то соответствующие проводимости равны нулю.

2.Если ветви, подсоединенные к какому-либо узлу, не содержат источников, то узловой ток этого узла равен нулю.

3.Если в какой-либо ветви имеется только идеальный источник ЭДС (сопротивление ветви равно нулю, а проводимость - бесконечности ), то целесообразно принять потенциал одного из узлов, к которым подсоединена ветвь (источник) равным нулю, т.е. заземлить, тогда потенциал второго узла будет отличаться на величину ЭДС (с учетом знака) и число уравнений сократится на единицу.

Следствие. В частном случае, когда схема имеет всего два узла, метод узловых потенциалов позволяет составить всего одно уравнение, с помощью которого определяют напряжение между узлами, это так называемая формула межузлового напряжения:

,

где – сумма проводимостей всех ветвей, включенных между узлами

а и b;

– алгебраическая сумма токов и источников, включенных между узлами а и b;

m – число ветвей, соединяющих узлы а и b.

После нахождения межузлового напряжения токи в ветвях определяются выражением:

В формуле (1.22) знаки записаны с учетом того, что все токи I_k направлены к узлу a , ЭДС E_k записывается со знаком “+”, если она направлена к узлу a , и “ – ”, если – от узла. Этот метод часто называют методом двух узлов.

Пример 6.1. Для цепи (рис. 6.2) определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если:E₁=40В; E₂=60В; E₃=50В; E₆=100В; R₁=10 Ом; R₂=20 Ом; R₃=25 Ом; R₄=R₅=40 Ом; I₁=2А; I₂=1А.

b

Рис 1.16

f

R3

Решение.

1.Выберем направление токов в ветвях и заземлим узел a (т.е. φ_a=0), тогда неизвестными будут потенциалы в узлах c,h, e.

2.Определим узловые токи:

 

3.Определим собственные (узловые) проводимости:

4.Определим общие проводимости:

5.По первому закону Кирхгофа составим систему уравнений для узлов c, h и e. Уравнения имеют вид:

 

Произведя соответствующие подстановки, получим:

Решая эти уравнения найдем потенциалы в узлах:

6.Найдем токи в ветвях:

Проверка для узла h: .

Итак, сумма токов в узле равна 0, следовательно задача решена верно.

 

Пример 6.2. Для цепи приведенной на рис. 6.2 рассчитать токи в ветвях, если E₁=60В; E₂=40В; E₃=80В; I=2,02А; R₁=20 Ом; R₂=20 Ом; R₃=40 Ом; R₄=50 Ом; R₅=10 Ом;

 

Решение. 1.Схема цепи, приведенная на рис. 6.2, содержит два узла, поэтому по формуле (6.2) определяем напряжение между узлами a и b U_ab:

 

2. Определяем токи в ветвях:

3.Проверка: .