Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу

1.Формули скороченого множення:

- квадрат суми двох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.

- квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрат першого виразу відняти подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.

- різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми цих виразів.

- куб суми двох виразів дорівнює куб першого виразу додати потроєний добуток квадрата першого та другого виразу додати потроєний добуток першого та квадрата другого виразу додати куб другого виразу.

- куб різниці двох виразів дорівнює куб першого виразу відняти потроєний добуток квадрата першого та другого виразу додати потроєний добуток першого та квадрата другого виразу відняти куб другого виразу.

- сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів та неповного квадрата різниці цих виразів (квадрат першого виразу відняти добуток цих виразів додати квадрат другого виразу).

- різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та неповного квадрата суми цих виразів (квадрат першого виразу додати добуток цих виразів додати квадрат другого виразу).

- в четвертому степені сума двох виразів дорівнює в четвертому степені перший вираз додати помножений на 4 добуток кубу першого та другого виразу додати помножений на 6 добуток квадрата першого та квадрата другого виразу додати помножений на 4 добуток першого та кубу другого виразу додати в четвертому степені другий вираз.

- в четвертому степені різниця двох виразів дорівнює в четвертому степені перший вираз відняти помножений на 4 добуток кубу першого та другого виразу додати помножений на 6 добуток квадрата першого та квадрата другого виразу відняти помножений на 4 добуток першого та кубу другого виразу додати в четвертому степені другий вираз.

Відсоток(процент) – сота частина даного числа. %- сота доля

Збільшення на n% (n>0) це збільшення у разів.

Знаходження відсотка даного числа: Щоб знайти відсоток від числа А, потрібно помножити його на число відсотків с і поділити на 100%, тобто .

 

Знаходження числа за його відсотком: Щоб знайти число за даною величиною a його відсотка с, потрібно поділити число а на число відсотків с і помножити на 100%, тобто .

 

Відсоткове співвідношення двох чисел: Щоб знайти відсоткове співвідношення числа а до числа, потрібно обрахувати відношення та помножити на 100%.

 

Формула складних відсотків: , де А₀ – початкова сума вкладу, р – річний відсоток, n – кількість років, А_n – отримана сума через n років.

2.Просте число – натуральне число, що має рівно два натуральних дільники одиницю і саме число. Натуральні числа – числа, що використовуються при лічбі.

Складне число – натуральне число, що більше за одиницю і не є простим.

Найбільший спільний дільник (НСД) двох цілих чисел a, b, принаймні одне з яких є відмінним від нуля, – найбільше натуральне число, яке є дільником обох цих чисел. (властивості -?)

Найменше спільне кратне (НСК) двох цілих чисел a, b, - найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел (без остачі ділиться на обидва числа).

Взаємно прості числа – натуральні або цілі числа які не мають спільних дільників більших за 1 (якщо їх НСД – 1).

Ознака подільності – умова, за якої число А без остачі ділиться на число В.

Ознака подільності на 2: ділиться будь яке число, перший розряд якого парний. Парне число ділиться навпіл без остачі. Розряд – місце цифри у числі (з права на ліво).

Ознака подільності на 3: сума цифр числа має ділитись на три без остачі.

Ознака подільності на 5: останній розряд числа має бути 5 або 0.

Одночлен – добуток чисел, змінних та їхніх натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їх натуральні степені. Многочлен – сума одночленів. Будь-який многочлен n-ного степеня від однієї змінної х можна записати у вигляді , де a_n ,a_n-1 – коефіцієнти многочлена, при чому a_n ≠0, а₀- вільний член.

Многочлен a ділиться на многочлен b, якщо існує такий многочлен с, що b∙с= a.

Теорема Безу: Остача від ділення многочлена P(x) на двочлен (x-a) дорівнює P(a).

Наслідок: Число a є коренем многочлена P(x) тоді і тільки тоді, коли P(x) ділиться без остачі на двочлен (x-a).

Корені многочлена – такі значення x, за яких увесь многочлен = 0.

Метод інтервалів – використовується для розв’язування нерівностей.

Якщо позначити на координатній осі точки, що є коренями многочлена (за умови існування), то відстані між цими точками і будуть інтервалами. Функція може змінювати знак тільки в точках, де її значення = 0 (не обов’язково).

Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів потрібно:

1) знайти область визначення функції y = f (x) ;

2) знайти значення x, при яких функція дорівнює нулю (знайти нулі функції): f (x) = 0 ;

3) розбити область визначення на проміжки, у яких кожний із кінців є коренем рівняння f (x) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y = f (x) ;

4) визначити знак f (x) на кожному з утворених проміжків;

5) об’єднати проміжки, на яких функція f (x) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.

3.Квадратним рівнянням називається рівняння видуax² + bx + c = 0 , де a, b, c — дійсні числа, a ≠ 0 . D = b² - 4ac — дискримінант рівняння ax² + bx + c = 0 .

Рівняння виду ax² + bx = 0 , ax² = 0 , ax² + c = 0 , де a ≠ 0 , називають неповними квадратними рівняннями.

Теорема Вієта

Якщо x₁ і x₂ — корені квадратного тричлена ax² + bx + c , то виконуються рівності (обернена - ?)

Розкладання квадратного тричлена на множники

Якщо x₁ і x₂ — корені квадратного тричлена ax² + bx + c , то виконується рівність .

4.Нерівністю з однією змінною(невідомим) називаються два вирази зі змінною (невідомим), поєднані знаком нерівності: > (більше), < (менше), ≥ (більше або дорівнює, не менше), ≤ (менше або дорівнює, не більше).

Розв’язком нерівностіназивається значення змінної (невідомого), при якому нерівність перетворюється в правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівністьозначає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Розв’язками нерівності є певна підмножина дійсних чисел.

Властивості нерівностей:

· Якщо a>b, то b>a

· Якщо a>b та b>с, то a>с

· Якщо a>b, то для будь-якого с a+с>b+с

· Якщо a>b, то для будь-якого с>0 aс>bс

· Якщо a>b, то для будь-якого с<0 aс<bс

· Якщо a>b і c>d, то a+с>b+d

· Якщо a>b і c<d, то a-с>b-d

· Якщо a>b, b ≥0 і c>d, d≥0, то aс>bd

· Якщо a>b, b ≥0 і c>d, d>0, то

· Якщо a>b>0, то для будь-якого натурального n aⁿ>bⁿ

· Якщо a>b>0,

5.Послідовності бувають скінченні і нескінченні. Послідовність називається скінченною, якщо вона має скінченну кількість членів. Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Послідовність називається спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, є меншим від попереднього.

Арифметичною прогресієюназивається послідовність a₁ ; a₂ ; a₃ ; …, кожний наступний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до того самого числа d, яке називається різницею арифметичної прогресії: a_n+1= a_n+d , n ∈N

В арифметичній прогресії n-й член визначається за формулою , де n — номер члена, a_n — n-й член, a₁ — перший член, d — різниця прогресії.

Якщо всі члени якоїсь послідовності, починаючи з другого, задовольняють умову

, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти за формулами:

 

Геометричною прогресієюназивається послідовність b₁ ; b₂; b₃ ; …; bn ; …, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q ≠ 0 ,

q ≠ 1 , b₁ ≠ 0), яке називається знаменником геометричної прогресії:

У геометричній прогресії n-й член визначається за формулою , де n — номер члена, b_n — n-й член, b₁ — перший член, q — знаменник прогресії.

Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умову ,то ця послідовність є геометричною прогресією.

Суму n перших членів геометричної прогресіїможна знайти за формулою

Нескінченно спадна геометрична прогресія—це нескінченна геометрична прогресія, знаменник якої q за модулем є меншим від 1, тобто |q| < 1 .

Сума всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії є скінченним числом, що визначається за формулою

(властивості – ?)

6.Арифметичним коренем n-го степеня (n ∈N, n >1) з невід’ємного числа a називається таке невід’ємне число b, яке при піднесенні його до степеня n дає число a. Число n називається показником кореня, число a — підкореневим виразом.

Коренем непарного степеня з від’ємного числа a називається таке від’ємне число b, яке при піднесенні його до цього непарного степеня дорівнює числу a. (корінь, арифметичний -?)

Функція y =, n≥2 , n ∈N

1. Область визначення: [0; +∞) , якщо n = 2k , k∈N ; R, якщо n = 2k +1 , k∈N .

2. Область значень: [0; +∞) , якщо n = 2k , k∈N; R, якщо n = 2k +1 , k ∈N .

3. Якщо n = 2k , k∈N , то функція не є ні парною, ні непарною

4. Якщо n = 2k +1 , k∈N , то функція непарна і її графік є симетричним відносно початку координат

5. Функція зростає на всій області визначення.

6. Г рафік функції проходить через початок координат.

7.Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y (див. рис.). Цю залежність позначають або f, або f (x), або y = f (x) .

Змінна x називається незалежною змінною, або аргументом функції, а змінна y — залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції f (x) називається множина дійсних значень незалежної змінної x, для яких ця функція визначена (має зміст). Позначається так: D(f) .

Областю значень функції y = f (x) називається множина всіх дійсних значень, яких набуває залежна змінна y при всіх значеннях аргументу з області визначення. Позначається так: E(f). Якщо області визначення D(f) і значень E(f) функції — числові множини, то така функція називається числовою.

Способи задання функцій:

· Табличний спосіб — функція задається таблицею.

· Графічний спосіб — функція задається множиною точок координатної площини.

· Аналітичний спосіб — функція задається формулою.

· Областю визначення функції y = f (x) , заданої формулою, називається множина значень x, при яких формула має зміст (усі дії, зазначені у формулі, можна виконати).

Парні і непарні функції:

Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-якого x ∈D(y) виконується рівність

f (−x) = f (x) , при цьому −x ∈D(y) .

Графік парної функції є симетричним відносно осі Oy.

Функція y = f (x) називається непарною, якщо для будь-якого x ∈D(y) виконується рівність f (−x) = −f (x), при цьому −x ∈D(y).

Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Існують функції, які не є ні парними, ні непарними.

Єдина функція, задана на множині R, є й парною, й непарною, —

це функція y = 0 (рис. 3).

Функція y = f (x) називається періодичною з періодом T ≠ 0 , якщо для будь-якого x з області визначення виконується рівність:

f (x +T) = f (x −T) = f (x) (див. рис.).

Періодом функції прийнято називати найменший із додатних періодів.

 

 

Функція y = f (x) називається неперервною в точці x = a , якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

 

Функція y = f (x) у точці x = a буде неперервною тоді й тільки тоді, коли виконуються умови:

1) функція y = f (x) визначена в точці x = a , тобто існує f (a) ;

2) існує границя функції в точці x = a ;

3) границя функції в точці x = a дорівнює значенню функції в цій точці, тобто Іншими словами, функція y = f (x) неперервна в точці x = a , якщо для будь-якого числа ε > 0 існує таке число δ > 0 , що для всіх x, таких, що |x – a| < δ , виконується нерівність f (x)− f (a) < ε

Якщо функція y = f (x) неперервна в кожній точці певного проміжку, то її називають неперервною на даному проміжку.

(?)Монотонна функція – функція, приріст якої не змінює знаку(завжди зростає або спадає). Проміжки монотонності – проміжки на яких функція завжди зростає або спадає.

Точки екстремуму

Точки максимуму й точки мінімуму називаються точками екстремуму; позначаються так: x_max , x_min . Значення функції в точках мінімуму й максимуму

називаються екстремумами функції, позначаються так: y_min , y_max або f_min , f_max .

 

Точка максимуму

Точка x₀ називається точкою максимуму (локального максимуму) функції y = f (x) , якщо знайдеться такий окіл точки x₀ , що для всіх x із цього околу виконується умова f(x₀)≥ f(x)

x₀ — точка максимуму функції f (x);

f (x₀₎ — максимум функції f (x).

 

Точка мінімуму

Точка x₀ називається точкою мінімуму (локального мінімуму) функції y = f (x) , якщо знайдеться такий окіл точки x₀, що для всіх x із цього околу виконується умова f(x₀)≤ f(x)

x₀ — точка мінімуму функції f (x);

f (x₀) — мінімум функції f (x).

(?) Нулі функції – точки, в яких значення функції дорівнює 0.

Проміжки знакосталості – проміжки, на яких функція зберігає один і той же знак.

8.Похідна

Похідною функції f (x) у точці x₀ (позначають f ′ (x₀)називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто у кожній точці інтервалу (a; b), то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Якщо

13.

14.

15.

16.

17.

 

18.

Число e – таке значення а, за якого дотична до графіка функції в точці (0;1) утворює з напрямом осі Ох кут 45°. Значення числа е дорівнює 2,718281….

Експонента – графік функції . Область визначення – D(x) = R. Множина значень – E(x) = (0 ; ∞) Функція зростає на всій області визначень. Обернена функція – y=ln x.

19.

20.

Доповнення