Пусть плоскость отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ и ОС (в единицах периода решетки). Рассчитаем обратные им величины H = 1/ОА, K = 1/ОВ, L = 1/ОС и определим наименьшие целые числа с таким же соотношением, как H : K : L = h : k : l. Целочисленные (hkl) называются индексами Миллера плоскости.
В кубических кристаллах индексы (100) относятся к плоскости, параллельной осям У и Z; индексы (010) — к плоскости, параллельной осям X и Z, а (001) — к плоскости, параллельной осям X и Y. В кристаллах с ортогональными осями эти плоскости вместе с тем перпендикулярны соответственно осям X, Y и Z.
Для обозначения направлений в кристалле применяют индексы в виде наименьших целых чисел, относящихся между собой как компоненты вектора, параллельного данному направлению. В отличие от обозначения плоскостей их пишут в квадратных скобках. В кубических кристаллах эти направления перпендикулярны плоскости с теми же индексами. Положительное направление оси X обозначают [100], положительное направление оси Y — [010], отрицательное направление оси Z — [001], диагональ куба — [111] и т.д. Обозначения кристаллографических плоскостей и направлений приведены на рисунке.
Плоскости, отсекающие равные отрезки, но расположенные в других октантах, эквивалентны в кристаллографическом и физико-химическом отношениях. Они образуют совокупность эквивалентных плоскостей – {hkl} или систему плоскостей, у которых h, k, l могут быть записаны в любом порядке и с любым числом минусов перед индексами. Минус записывается над индексом.
Положение направления в пространственной решетке может быть легко определено координатами атома, ближайшего к началу координат и лежащего на данном направлении. Координаты этого узла [[hkl]] и будут индексами Миллера этого направления [hkl].
Совокупность эквивалентных направлений или система направлений обозначается <hkl>, где h, k, l могут быть записаны в любом порядке и с любым числом минусов: <100> ‑ совокупность направлений, параллельных всем ребрам куба; {100} ‑ совокупность плоскостей, параллельных всем граням куба.
Примеры обозначения кристаллографических
плоскостей и направлений в кубических кристаллах
с помощью индексов Миллера