Логические функции и их свойства

Существенная часть ЭВМ состоит из электронных элементов, реализующих функции алгебры логики – Булевой алгебры.

Студентам кафедры информационных технологий МГУТУ читают курс дискретной математики, куда, в частности, входит алгебра логики.

Но, так как автору часто приходится читать курс моделирования систем ДО курса дискретной математики , он решил ввести сведения об алгебре логики в данное пособие.

Особенностью Булевой алгебры является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.

Существует несколько синонимов по отношению к функциям алгебры логики:

1.функции алгебры логики (ФАЛ);

2.булевские функции;

3.двоичные функции

Логические функции задаются с помощью таблиц истинности.Чтобы задать логическую функцию, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов

Ниже приводятся таблицы истинности всех логических функций одного аргумента и, преимущественно используемая в ЭВМ часть логических функций двух аргументов.

Таблица истинности функций одного аргумента

вход выходы
Y0 Y1 Y2 Y3

 

В этой таблице интерес представляет только функция Y2- логическая функция НЕ – отрицания. Она обозначается как Y= ⌐X, или .

Таблица некоторых логических функция двух переменных

входы выходы
X1 X2 И И-НЕ ИЛИ ИЛИ-НЕ

 

Эти функции чаще всего реализуются в ЭВМ.

Функция И называется еще «логическим умножением» или «конъюнкцией» и обозначают как Y=X1X2 , Y=X1 ˄X2

Функция ИЛИ носит еще названия «логическое сложение « или «Дизъюнкция». Ее обозначения Y=X1+X2 или X1˅X2..

Функция И-НЕ называется «штрихом Шефера», а функция ИЛИ-НЕ «стрелкой» Пирса.

При синтезе логических схем приходится производить различные действия над переменными, входящими в логические функции, и действия над логическими функциями. В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х х х х ... х х х= х ,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

x v x = 11 x = 1

постоянно истинное высказывание.

0 x = x

x1 x2 = x2 x1

- (переместительный) коммуникативный закон.

x1 х2 х3 = (x1 х2) х3 = x12 х3)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х х х х... х х х= х

правило приведения подобных членов:

1 x = х

0 x = 0 - постоянно ложное высказывание

x x = 0 - постоянно ложное высказывание