Само название этих систем указывает на связь значимости числа и его изображения от позиции.
Позиция - некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система.
В этой системе число представляется в виде полинома "n" степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает.
- число; - символы.
Всем позициям приписывается различный вес, который чаще всего выбирается как целая степень основания системы.
Основание системы счисления - число, которое является мощностью множества различных символов, допустимых в каждой позиции числа.
Так для десятичной системы допускаемыми являются символы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Обозначим через "p" основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены так:
... p3 p2 p1 p0.
Само число, изображение которого имеет вид, например, a4a3a2a1 может быть представлено так:
a0p0 + a1p1 + a2p2 + a3p3 - это развернутая запись числа в позиционной системе.
Например:
97310 = 3*100 + 7*101 + 9*102 = 3 + 70 + 900.
В отличие от системы счета времени, десятичная система является однородной, т.е. одних и тех же десятичных символов достаточно, чтобы изобразить любое число. В то время как в смешанных системах нужно придумывать все новые и новые символы для того, чтобы изобразить следующее по величине число.
Таким образом, однородность - одно из важных свойств позиционных
систем.
Любое число X в позиционной системе счисления можно представить в виде:
где
m - число позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа.
n - общее число разрядов в числе.
ai - любой допустимый символ в разряде, т.е. ai = {0, 1, 2,..., p-1}.
p - основание системы счисления.
Например:
- 961,13 = - (9*102 + 6*101 + 1*100 + 1*10-1 + 3*10-2).
1. Заметим, что число, равное основанию системы счисления, т.е. "p", в самой системе с основанием "p" записывается только в двух позициях (разрядах), а именно так:
pp = 10p
2. Заметим также, что разделение числа на две части - дробную и целую - имеет смысл лишь в позиционных системах.
3. Заметим, что основание системы для представления числа мы можем выбрать произвольное. Такой же произвол мы можем допустить и в назначении весов разрядов. Однако наиболее целесообразно считать его, как и в десятичной системе, естественным, т.е. ввести в качестве степеней основания числа натурального ряда:
4. ... +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 ...