Задачи с нелинейными ограничениями-неравенствами. Теперь рассмотрим задачу, в которой допустимая область задается системой ограничений-неравенств не обязательно линейных минимизировать fх при условиях gi х0, i1, m. В теореме формулируются достаточные условия, при которых вектор d является возможным направлением спуска. ТЕОРЕМА. Рассмотрим задачу минимизации fх при условиях gi х0, i1, m Пусть х допустимая точка, а I множество индексов активных в этой точке ограничений, т. е Предположим, кроме того, что функции f и gi для дифференцируемы в х, а функции gi для непрерывны в этой точке.
Если при, то вектор d является возможным направлением спуска. Рис. 6. Совокупность возможных направлений спуска в задаче с нелинейными ограничениями. 1 1-е ограничение 2 3-е ограничение 3 4-е ограничение 4 2-е ограничение 5 возможные направления спуска 6 линии уровня целевой функции. Доказательство.
Пусть вектор и удовлетворяет неравенствам и при. Для выполняются неравенства, и так как gi непрерывны в точке х, то для достаточно малых. В силу дифференцируемости функций gi при имеем где при. Так как, то при достаточно малых. Следовательно, при i 1 m, т.е. точка допустимая для достаточно малых положительных значений. Аналогично из следует, что для достаточно малых 0 имеем. Следовательно, вектор и является возможным направлением спуска. На рис. 6 показана совокупность возможных направлений спуска в точке х. Вектор d, удовлетворяющий равенству, является касательным к множеству в точке х. Поскольку функции gi нелинейны, движение вдоль такого вектора d может привести в недопустимую точку, что вынуждает нас требовать выполнения строгого неравенства. Чтобы найти вектор d, удовлетворяющий неравенствам для, естественно минимизировать максимум из и для. Обозначим этот максимум через z. Вводя нормирующие ограничения Для каждого j, получим следующую задачу для нахождения направления.
Пусть z, d оптимальное решение этой задачи линейного программирования.
Если z 0, то очевидно, что d возможное направление спуска. Если же z 0, то, как показано ниже, текущая точка является точкой Ф. Джона. ТЕОРЕМА Рассмотрим задачу минимизации fх при условиях giх0, i 1 m. Пусть х допустимая точка, а. Рассмотрим следующую задачу нахождения направления Точка х является точкой Ф. Джона для исходной задачи тогда и только тогда, когда оптимальное значение целевой функции задачи поиска направления равно нулю. Точка х является точкой Ф. Джона для исходной задачи тогда и только тогда, когда оптимальное значение целевой функции задачи поиска направления равно нулю. Доказательство.
Оптимальное значение целевой функции в сформулированной задаче нахождения направления равно нулю в том и только в том случае, если система неравенств при не имеет решения. По теореме для того, чтобы эта система не имела решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа uo и ui что Это и есть условие Ф. Джона.