Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления

Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления. Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчт которых оказывается проще, чем прямой расчт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле LxxUmn LyyUmn jxm, yn 1 Umnг Ysmn m, n 1,2 M-1 аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле d2U d2U jx, y 0 x 1 dx2 dy2 2 Uг Ys 0 y 1 Вслучае задачи 1 удатся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье. Способыточного решения задачи 1 выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение Ux, y Задачи 2 можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке x, y пластинки, находящейся в теплолвом равновесии.

Функция jx, y и Ys означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла dV d2V d2V - jx, y dt dx2 dy2 Vг Ys 3 Vx, y,0 Y0x, y где j и Y те же что и в задаче 2, а Y0x, y - произвольная.

Поскольку источники теплп jx, y и температура на границе Ys не зависит от времени, то естественно, что и решение Vx, y,t с течением времени будет менятся вс медленнее, распределение температур Vx, y,t в пределе при t OO превращается в равновесное распределение тмператур Ux, y, описываемое задачей 2. Поэтому вместо стационарной задачи 2 можно решать нестационарную задачу 3 до того времени t, пока е решение перестат менятся в пределах интересующей нас точности.

В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи 2 решается задача 3, а вместо разностной схемы 1 для задачи 2 рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи 3. Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему Up1mn - Upmn LxxUpmn LyyUpmn - jxm, yn t Up1mnг Ysmn 4 U0mn Y0xm, yn Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему Up1mn - Upmn LxxUp1mn LyyUp1mn - jxm, yn t Up1mnг Ysmn 5 U0mn Y0xm, yn и исследуем схему применения направлений U mn - Upmn 1 LxxU mn LyyUpmn - jxm, yn t 2 Up1mn - U mn 1 LxxU mn LyyUp1mn - jxm, yn t 2 6 Up1mnг U mnг Ysmn U0mn Y0xm, yn Будем считать, что Y0xm, yn по уже известному UpUpmn для схемы 4 оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление Up1 Up1mn по схеме 5 требует решения задачи LxxUp1mn LyyUp1mn - Up1mn jxm, yn - Upmn t t 7 Up1mnг Ysmn Вычисление Up1 Up1mn по уже известным Up Upmn по схеме 6 осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений U mn одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений Up1mn одномерных задач при каждом фиксированом m. Для каждой из двух разностных схем 4 и 6 рассмотрим разность для счта погрешностеи вычислений epmn Upmn - Umn между сеточной функцией Up Upmn и точным решением U Umn задачи 1. Решение Umn задачи 1 удовлетворяет уравнениям Upmn - Umn LxxUmn - jxm, yn t Umnг Ysmn U0mn Umn Вычитая эти равенства из 4 почленно, получим для погрешности epmn следующую разностную задачу ep1mn - epmn Lxxepmn Lyyepmn t ep1mnг 0 9 e0mn Y0xm, yn - Umn Сеточная функция epmn при каждом p p0,1 обращается в ноль на границе Г.