Метод переменных направлений. Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности dU LU fx, t , xОG02 , tО0,t0 dt Uг mx, t 1 Ux,0 U0x LU LU L1 L2U , где LaU d2U , a1,2 dx2 Область G0a G0 0 xa la, a1,2 -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г - граница G0 G0 Г. В G0 построили равномерную по xa сетку vh с шагами h1 l1N1 , h2 l2N2. Пусть nh - граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, vh wh nh. Оператор La заменим разностным оператором La Lay yxaxa , L L1 L2 В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида Aiyi-1 - Ciyi Biyi1 -F , i1 N-1 y0m1 2 ynmN Ai 0, Bi 0, Ci Ai Bi которая решается методом прогонки.
Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку vh можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i20,1,2 N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i11,2 N1. Всего имеется N11 столбцов и N21 строк.
Число узлов в каждой строке равно N11, а в каждом столбце N21 - узлов.
Если на каждой строке или столбце решать задачу вида 2 методом прогонки при фиксированом i2или i1, то для отыскания решения на всех строках или столбцах, т.е. во всех узлах сетки, понадобится ОN1N2 арифметических действий.
Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида 2 вдоль строк и вдоль столбцов.
Наряду с основными значениями искомой сеточной функции yx, t, т.е. с y yn и y yn1 вводится промежуточное значение y yn, которое можно формально рассматривать как значение при t tn tn. Переход от слоя n на слой n1 совершается в два этапа с шагами 0.5t . yn - yn L1yn L2yn jn 3 0.5t yn1 - yn L1yn L2yn1 jn 4 0.5t Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x xi сетки vh и для всех tth 0. Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям 3,4 надо добавить начальные условия yx,0 U0x, xОvh 5 и разностно краевые условия, например, в виде yn1 mn1 при i10, i2N2 6 yn m при i10, i2N1 7 где m 1 mn1 mn - t L2mn1 - mn 8 2 4 Т.о разностная краевая задача 3-8 соответствует задаче 1. Остановимся на методе решения этой задачи.
Пререпишем 3 и 4 в виде 2 y - L1 y F , F 2 y L2 y j t t 9 2y - L2 y F , F 2 y L1 y j t t Введм обозначения xi i1h1 , i2h2 F Fi1,i2 y yi1,i2 при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем.
Тогда 9 можно записать в виде 2, т.е. 1 yi1-1 - 2 1 1 yi1 1 yi11 - Fi1 h21 h21 t h21 i1 1 N1-1 10 y m при i1 0,N1 1 yi2-1 - 2 1 1 yi2 1 yi21 - Fi2 h22 h22 t h22 i2 1 N2-1 11 y m при i2 0,N2 Пусть задано ууn. Тогда вычисляем тF, затем методом прогонки вдоль строк i21 N2-1 решаем задачу 10 и определим y во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем F и решаем задачу 11 вдоль столбцов i11 N1-1, определяя yyn1. При переходе от слоя n1 к слою n2 процедура повторяется, т.е. происходит вс время чередование направлений.