Планарные волноводы. Типичные представители планарных волноводов состоят из световедущего слоя сердцевины толщиной 2с, располагающегося между двумя слоями оболочки. Как уже говорилось раньше, для простоты предлагаю, что слои оболочки имеют бесконечную толщину. Плоскости xс являются границами раздела сердцевина оболочка.
Так как волновод простирается неограниченно во всех направлениях, ортогональных к оси x, то структура является двумерной. Ось z расположена вдоль средней линии между границами разделов и является за чистую осью симметрии. Тогда показатель преломления nx в сердцевине может быть либо постоянным по сечению, либо изменяющимся в поперечном направлении. В оболочке, как правило, показатель преломления постоянен по сечению и равен nc1. При этом показатель преломления сердцевины должен превосходить nc1 для обеспечения направляющих свойство волновода.
Предположим, что профиль не изменяется вдоль оси z, то есть волновод обладает трансляционной инвариантностью. Параметры представленного волновода и длина волны света л в свободном пространстве могут быть объединены в один безразмерный параметр V, называемый волновым параметров, или волноводной частотой. Пусть nc0 максимальное значение nx на оси волновода, тогда V определяется следующим образом .2. Построение лучевой траектории. Траектория луча определяется лучевым уравнением с функцией профиля nr ,2.1где s расстояние, отсчитываемое вдоль траектории луча, r радиус-вектор точки на ней. В случаи планарного волновода профиль показателя преломления nx зависит только от координаты x, поэтому каждая точка x, z, составляющая лучевую траекторию определяется с помощью двух x-го и z-го компонент уравнения 2.1 .2.2Угол иzх, образующийся между касательной к траектории луча и осью волновода, имеет определнный физический смысл см. рис. 1. .2.3Проинтегрировав второе уравнение 2.2 получим соотношение ,2.4 справедливое при всех х. Оно является обобщением закона Снелля приложение 1 для градиентных сред. При этом nxcosиzх постоянно вдоль траектории луча. Для конкретного профиля траектория луча однозначно определяется начальным углом иz 0. Каустика точек поворота.
Заметим, что если пх уменьшается при удалении от оси волновода, то из уравнения 2.4 следует, что внутри сердцевины существует граница, на которой иzх0. Причем положение этой границы определяется значением иz0. За данной границей распространение луча не возможно.
Указанная граница называется точкой поворота xtp которая определяется из условия .2.5 Сопоставляя понятия кривизны лучевой траектории с понятием точки поворота видно, что траектория луча подобна траектории на рис. 2,а, если уравнение 2.5 имеет разрешимо, и траектории на рис. 2,б, если оно решения не имеет.
В первом случае луч непрерывно поворачивается и возвращается к оси, во втором случае луч достигает границы сердцевины и, преломляясь, выходит наружу.
Так как профиль непрерывен вблизи границы раздела, то угол падения равен углу преломления, иtиzс. Штриховая линия, соответствующая ххtp, представляет собой геометрическое место расположения точек поворота для всех лучей с одинаковым значением иz0, которое часто называют лучевой каустикой, или каустикой точек поворота. Характеристики траектории луча. Когда уравнение 2.5 имеет решение луч возвращается к оси z под тем же углом, а то есть, имеет периодический характер.
И если профиль показателя преломления симметричный, то есть п-хпх. То траекторию луча в волноводе можно построить простым повторением отрезков траектории, изображенной на рис. 2,а. И тогда траектория имеет вид синусоиды рис. 3. Она никогда не достигает границы раздела сердцевина-оболочка, что исключает потери мощности. Такие лучи являются направляемыми. Лучи, траектории которого достигает границы раздела, теряют свою мощность и называются рефрагирующим.
Траектория луча, касающаяся границы раздела сердцевины с оболочкой, разделяет области, заполненные траекториями лучей каждого из указанных типов. Для данной граничной траектории хtpс. Обозначая соответствующее этой траектории значение иz0 через иc0, из 2.5 получаем .2.6предполагая, что n0nc0 максимальное значение пх. направляемые лучи ,2.7,арефрагирующие лучи .2.7,бРешение уравнения 2.2 для лучевых траекторий рассматривается в разд. 4. 3. Лучевой инвариант.
Следствием трансляционной инвариантности волновода является периодический характер лучевой траектории рис.3, что позволяет ввести лучевой инвариант в, который постоянен вдоль пути распространения луча и характеризует его направление в любой точке поперечного сечения сердцевины. В волноводе градиентного профиля с учетом 2.3 и 2.4 он определяется следующим выражением .3.1Следовательно, в постоянен вдоль траектории и определяет направление луча в любой ее точке, а также положение точки поворота хtp. Так как в точке поворота иzх 0, то nxtp в,3.2и между хtp и в существует взаимно однозначное соответствие.
Классификация лучей в соответствии с 2.7 может быть проведена также и относительно в. При х0 и иz0 ис0 из уравнения 3.1 с учетом 2.6 следует, что вnс1. Таким образом, направляемые лучи ,3.3арефрагирующие лучи ,3.3бгде и nc0 максимальное значение пх. 4.