Лучевые параметры

Лучевые параметры. Удобно ввести параметры, характеризующие распространение луча в волноводе с градиентным профилем, которые будут использованы в последующих разделах.

К ним относятся, в частности, LP-длина пути путь между ближайшими точками поворота, L0-оптическая длинна пути для определения времени прохождения луча, которая определяется как произведение длины пути на показатель преломления и ZP полупериод траектории луча, которые легко обобщаются на волноводы с градиентным профилем. Хотя процесс обобщения можно упростить, получив предварительно явное решение систем уравнений 2.2 для траектории луча, однако на практике очень редко используют зависимость характеристик луча вдоль траектории.

Заменяя в первом уравнении 2.2 ds на dz из 3.1, после соответствующих преобразований получаем .4.1Полагая, где, после интегрирования имеем ,4.2так как и пхв при ххtp. Второе интегрирование дает ,4.3 где z0 при х0. Это выражение является точным для траектории направляемых лучей при и для рефрагирующих лучей при. Параметры траектории луча находятся с помощью рис. 4, на котором представлен отрезок траектории направляемого луча между следующими друг за другом точками поворота Р и Q, отстоящими на расстоянии, равном полупериоду ZP и измеренном вдоль оси волновода.

Длина пути L0 и оптическая длина пути LP определяются интегралами по траектории ,4.4где s - расстояние вдоль траектории. Заменяя ds на dz из 3.1 и dz на dx из 4.2, получаем .4.5Полупериод траектории луча можно получить из 4.3 в виде .4.6 Следовательно можно определить и количество точек поворота траектории луча на единицу длины волновода. В случае симметричного профиля интеграл вычисляется для, а результат удваивается.

Локальный критический угол скольжения. Для наглядности в случае рассмотрения волноводов с градиентным профилем удобно ввести дополнительный параметр. В разд. 2 отмечалось, что в любой точке поперечного сечения сердцевины волновода все направляемые лучи распространяются под углами к оси волновода, значения которых лежат в интервале 0иz иc, где иc - критический угол скольжения.

Однако для волноводов с градиентным профилем область значений углов иzх направляемых лучей изменяется в зависимости от положения луча в поперечном сечении. На оси указанная область определяется 2.7а, а на границе сердцевины направляемых лучей нет Точнее говоря, на границе сердцевины все направляемые лучи имеют иcx0, то есть они параллельны оси волновода. Соответственно определим локальный критический угол скольжения иcх, как .4.7В результате интервал углов направляемых лучей в точке с координатой х определяется следующим образом .4.8При х0 4.8 сводится к 2.7а, а при хс иzх0. Все указанные выше параметры, а также время прохождения луча, рассматриваемое в следующем разделе, представлены в приложении 2. 5. Время прохождения луча. Время прохождения луча в волноводах с градиентным профилем определяется интегралом вдоль искривленной траектории луча см. рис. 3. Локальная скорость света непрерывно изменяется по закону cпх, где с скорость света в свободном пространстве и пх - профиль показателя преломления.

Следовательно, время прохождения луча на расстояние z вдоль оси волновода определяется интегральным выражением .5.1Оно получено с помощью уравнения 3.1. Здесь интегрирование выполняется вдоль кривой ххz. Этот интеграл не имеет простого представления, но его можно аппроксимировать.

Из 4.4 следует, что время прохождения луча на расстояние, равное полупериоду траектории zp, и составляет, где L0 оптическая длина пути. Таким образом, если z точно кратно полупериоду траектории, то время прохождения луча можно представить выражением .5.2В общем случае z не кратно zp, однако при z zp выражение 5.2 может служить достаточно точным приближением для 5.1. Выравнивание времени прохождения.

В волноводах с градиентным профилем происходит выравнивание времени прохождения для различных лучей, что легко объяснить. Так как пх уменьшается при удалении от оси, то чем дальше от оси распространяется луч, тем больше локальная скорость света спх. Такое увеличение скорости частично компенсирует увеличение длины пути неосевых лучей. 6. Параксиальное приближение.

Оптические волноводы, используемые в технике связи, обычно являются слабонаправляющими, то есть перепад между максимумом и минимумом показателя преломления в поперечном сечении мал и обычно не превосходит 1 от максимального значения. Рассмотрим некоторые особенности такого приближения применительно к лучевому анализу. Если максимальное и минимальное значения показателя преломления близки, то из 2.6 следует, что критические углы скольжения ис и ис0 малы и справедливо следующее соотношение 6.1аналогичное соотношение получается для ис0. Таким образом, интервал углов направляемых лучей в 2.7а мал, и любой направляемый луч распространяется почти параллельно оси. Такое приближение называется параксиальным.

Параксиальное приближение не приводит к упрощению уравнений 2.2, поскольку, как видно из 4.3, в константа, а пх принимает значения, уменьшающиеся вплоть до в. Однако оно позволяет упростить выражения для длины пути zp в 4.5 при использовании указанной ниже аппроксимации.

Профиль может быть описан следующим образом ,6.2где и nc0 максимальное значение показателя преломления, fx неотрицательная функция, а Д константа, определяемая с учетом 2.6 соотношением 6.3В однородной оболочке пхпc1, а fх1. Такое определение Д предполагает выполнение условия Д 1 в приближении слабонаправляющего волновода, то есть условия nc0пc1. Таким образом, в низшем порядке приближения величина Д представляет собой относительный перепад между пc0 и nc1 или ,6.4и характеризует относительную высоту профиля, поэтому параметр Д будем называть параметром высоты профиля.

При Дfx 1 из 6.2 получаем приближенное соотношение ,6.5которое будет использовано при определении LP ниже. 7. Параболический профиль. Рассмотрим бесконечный параболический профиль, соответствующий на рис. 5 сплошной кривой q2 и пунктирному продолжению, который определяется выражением ,7.1где с - эффективная ширина профиля.

С одной стороны, показатель преломления непрерывно изменяется в бесконечных пределах профиль является нереальным, так как при. Но так как этот профиль является одним из простейших для понимания процессов распространения, мы будем его использовать как составной элемент при анализе волноводов параболического профиля с однородной оболочкой. Так как профиль является бесконечным, то каждая траектория луча имеет точку поворота на конечном расстоянии от оси, определяемом соотношением 3.2 ,7.2где последнее выражение справедливо в параксиальном приближении.

Таким образом, чем больше угол иz0 или чем меньше в, тем дальше от оси расположена точка поворота. Поскольку не существует лучевых траекторий, являющихся решениями уравнения 4.3, расположенных за точками поворота, то все лучи являются направляемыми, а инвариант в направляемых лучей удовлетворяет условию .7.3Подставляя 7.2 в уравнение 4.3 и используя замену переменных, получаем интеграл по аргументу щ, который легко вычисляется.

Итак, траектория луча определяется соотношениями ,7.4где zp - полупериод траектории луча, вычисленный аналогичным образом с помощью 4.6. Используя ту же замену переменных, из 4.5 можно вычислить оптическую длину пути ,7.5тогда как геометрическая длина пути LP выражается через полный эллиптический интеграл 2-го рода Ev согласно соотношению. Однако в приближении слабонаправляющего волновода 6.5 при 1 можно получить упрощенное выражение 7.6Наконец, время прохождения луча 5.2 определяется непосредственно из соотношений 7.4, 7.5 как .7.7