Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

Тема Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени . Оглавление Введение Постановка проблем, формулировка задач Глава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа. 1. Введение в спектральное оценивание 1. Задача спектрального оценивания 2. Проблемы в области спектрального оценивания. 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных 4. Общая картина 2. Основные определения и теоремы классического спектрального анализа 2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядов Фурье. 3. Анализ эргодичных дискретных процессов. 3. Классические методы спектрального анализа. 1.3.1. Введение. 2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе. 3. Периодограммные оценки спектральной плотности мощности. 4. Коррелограммные оценки спектра. 5. Область применения. 4. Авторегрессионное спектральное оценивание. 1. Введение. 2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера. 3. Методы оценивания коэффициентов отражения. 1. Геометрический алгоритм. 2. Гармонический алгоритм Берга. 4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. 5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего . 6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии. 7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. 1. Введение. 2. Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала. 3. Оценки частоты в пространстве шума. Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

Особенности реализации.

Заключение.

Выводы.

Приложениe А. Смещение периодограммы Уэлча. Приложениe В. Методы и интерфейсы межзадачного системного и межсистемного обмена в среде Windows 95 Delphi 3.0 Приложениe С. Достоверность полученных оценок спектральной плотности мощности. Приложениe D. Таблица экспериментальных результатов по разрешающей способности методов спектрального анализа.

Приложениe E. Таблица и графики Слабые синусоидальные составляющие Приложениe F. Дисперсии оценок СПМ как функции частоты. Приложениe G. Таблица наилучших в смысле структурной устойчивости параметров адаптивного градиентного метода. Приложениe Н. Графики оценок СПМ при различных значениях порядка авторегрессионной модели. Приложениe I. Список используемой литературы. Введение Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.

Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал или же некоторую модель этого сигнала с его представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль точной науки.

Однако в действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра. 1 К обработке сигналов в реальном масштабе времени относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, в которых помимо трудностей, связанных непосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательности отсчетов как в задаче распознавания речи или изменения формы спектра - фильтрации в частотной области в основном относится к мультимедийным сигналам, возникает проблема управления потоком данных в современных вычислительных системах.

Реальность накладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, так и на результаты экспериментов, поднимая вопросы, с которыми не сталкиваются при обработке всей доступной информации. При обработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов - задачу обнаружения и задачу оценивания.

При обнаружении нужно дать ответ на вопрос, присутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорно известными параметрами. Оценивание - это задача измерения значений параметров, описывающих сигнал 1 . Сигнал часто зашумлен, на него могут накладываться мешающие сигналы. Поэтому для упрощения указанных задач сигнал обычно разлагают по базисным составляющим пространства сигналов.

Для многих приложений наибольший интерес представляют периодические сигналы. Вполне естественно, что используются Sin и Cos. Такое разложение можно выполнить с помощью классического преобразования Фурье. При обработке сигналов конечной длительности возникают интересные и взаимозависимые вопросы, которые необходимо учитывать в ходе гармонического анализа. Конечность интервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присутствии сильных шумов, на разрешимость тонов меняющейся частоты и на точность оценок параметров всех вышеупомянутых сигналов.

Постановка проблемы, формулировка задачи На настоящее время существует большое количество алгоритмов и групп алгоритмов, которые так или иначе решают основную задачу спектрального анализа оценивание спектральной плотности мощности, с тем чтобы по полученному результату судить о характере обрабатываемого сигнала. Основной вклад сделан такими исследователями как Голд Б. Gold B Рабинер Л. Rabiner L.R Бартлетт M. Bartlett M.S. Однако каждый из алгоритмов имеет свою область приложения.

Например, градиентные адаптивные авторегрессионные методы не могут быть применены к обработке данных с быстро меняющимся во времени спектром. Классические методы имеют широкую область применения, но проигрывают авторегрессионным и методах, основанных на собственных значениях, по качеству оценивания. Но в реальном масштабе времени использование последних затруднено из-за вычислительной сложности. Более того, применение каждого из методов обычно требует выбора значений параметров выбор окна данных и корреляционного окна в классических методах, порядка модели в авторегрессионном алгоритме и алгоритме линейного предсказания, предполагаемого числа собственных векторов в пространстве шума в методе Писаренко и правильный выбор требует экспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов.

Таким образом, имеется следующая задача На основе существующих алгоритмов проанализировать возможность их применения как к последовательной обработке сигналов в реальном времени, так и к блочной обработке и оценить качество получаемых результатов. Критериями качества оценки спектральной плотности мощности в общем случае являются смещение этой оценки и ее дисперсия. Однако аналитическое определение этих величин наталкивается на определенные математические трудности и в каждом конкретном случае на практике просто визуально совмещают графики нескольких реализаций спектральной оценки и визуально определяют смещение и дисперсии к функции частоты.

Те области совмещенных графиков спектральных оценок, где экспериментально определенное значение дисперсии велико, будет свидетельствовать о том, что спектральные особенности видимые в спектре одной реализации не могут считаться статистически значимыми.

С другой стороны, особенности совмещенных спектров в тех областях, где эта дисперсия мала, с большой достоверностью могут быть соотнесены с действительными составляющими анализируемого сигнала. Из вышесказанного сформулируем следующие подзадачи I. теоретическое и практическое исследование алгоритмов блочной обработки II. анализ классических алгоритмов блочной обработки всей последовательности в части применения окон данных и корреляционных окон III. анализ алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени Кроме этих теоретических проблем, существует ряд практических вопросов, специфичных для обработки сигналов в реальном времени.

Среди них выбелим Необходимость в одновременном выполнении следующих основных этапов обработки данных 1. Непосредственное получение последовательности входных данных цифровые отсчеты аудио-сигнала, речевого сигнала . 2. Обработка получаемых отсчетов сигнала. 3. Представление обработанной информации 4. Возможность контролировать процесс обработки информации Ограничение длительности интервала выборки поступающих данных вычислительными ресурсами Ограничение длительности интервала выборки характером сигнала Если первый вопрос очевиден в рамках обработки данных в реальном времени, то второй и третий вопросы требуют осмысления причин этих ограничений.

К сформулированным выше задачам добавим IV. задачу построения схемы управления обработкой данных в реальном времени, основанной, в силу первой проблемы, на параллельных вычислениях и протоколах взаимодействия и синхронизации V. экспериментальный анализ по второй проблеме, то есть исследование влияния вычислительных ресурсов и методов оцифровки данных на максимально допустимую длину интервала выборки VI. анализ длительности интервала выборки, исходя из характера сигнала. В качестве основного подхода к решению проблем и исследования применим методологию математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Экспериментальные входные данные будем формировать следующим образом для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательности отсчетов формируем дискретизированные отсчеты данных тест-сигнала из суммы комплексных синусоид и аддитивных окрашенных шумовых процессов, сформированные посредством пропускания белого шума через фильтр с частотной характеристикой типа приподнятого косинуса или окна Хэмминга.

Таким образом, в этом случае эксперимент определяется набором, где - последовательность комплексных синусоид с амплитудами дБ и частотами Гц, а - последовательность шумовых процессов с параметрами центральная частота Гц динамический диапазон перекрываемых частот Гц мощность шума дБ. для анализа классических алгоритмов блочной обработки всей последовательности в части применения окон данных и корреляционных окон эксперимент и подсчет основных характеристик окон будем производить над дискретизированными отсчетами соответствующих функций. для анализа алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени используем аудио и речевой сигналы.

Выходными данными экспериментов будем считать для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательности отсчетов 1. оценку спектральной плотности мощности, полученную с помощью того или иного метода спектрального анализа, по которой можно судить о качестве применяемого метода, сравнивая истинную спектральную плотность мощности сформированного сигнала с полученной оценкой 2. вычислительные и временные затраты метода для анализа окон данных и корреляционных окон - расчетные основные характеристики такие как максимальный уровень боковых лепестков, эквивалентная ширина полосы, ширина полосы по уровню половинной мощности, степень корреляции и т.д для анализа сигналов в реальном масштабе времени спектральная плотность мощности функция, зависящая в этом эксперименте также и от времени. Для оценки составляющих в спектре сигнала в данный момент времени.

Глава 1.

Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа

Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа . 1.1.

Введение в спектральное оценивание

Введение в спектральное оценивание 1.1.1. Задача спектрального оценивания Задача спектрального оценивания подразумевает оценивание некоторой функции частоты.

О характеристиках спектральной оценки судят по тому, насколько хорошо она согласуется с известным спектром тест-сигнала в некоторой непрерывной области частот. 1 1.1.2.

Проблемы в области спектрального оценивания

1 1.1.3. Принято характеризовать относительные величины разрешающей способности... Аналитически описать характеристики большинства методов в случае огран... . Проблемы в области спектрального оценивания. Интерес к альтернативным ...

Спектральные оценки по конечным последовательностям данных

Однако в случае коротких записей данных часто не удается получить неск... Спектральные оценки по конечным последовательностям данных. Те области совмещенных графиков спектральных оценок, где экспериментал... 1 1.1.4.. Спектральная оценка, получаемая по конечной записи данных, характеризу...

Общая картина

Из формального определения спектра, следует, что спектр является некот... 1.2.. Общая картина. Анализируя изменения спектральных оценок от одного такого сегмента к д... Однако короткие сегменты данных, получаемые из более длинной записи да...

Основные определения и теоремы классического спектрального анализа

Непрерывно-временное преобразование Фурье. В общем случае отсчеты в одной области например, временной приводят к ... Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так что, то периодиче... Пусть дан произвольный непрерывный сигнал и его преобразование, которы... Теперь ограничимся длительностью сигнала NT .

Анализ эргодичных дискретных процессов

Анализ эргодичных дискретных процессов. Определение Дискретный случайн... Это определение эквивалентно определению спектральной плотности мощнос... Классические методы спектрального анализа. 1.3.1 Введение Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных ... При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится...

Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе

Окна представляют собой весовые функции, используемые для уменьшения р... Этого добиваются, согласуя на границе возможно большее число производн... Таким образом, вблизи границ интервала взвешенные данные плавно стремя... Оба подхода ведут, конечно, к одинаковым результатам. 1.3.3.

Периодограммные оценки спектральной плотности мощности

И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения по ансамбл... Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральным частота... Тогда p-ый сегмент будет состоять из отсчетов, где n 0,1, ,D-1,p 0,1, ... Для каждого сегмента независимо вычисляется выборочный спектр в диапаз... Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь и...

Коррелограммные оценки спектра

Коррелограммные оценки спектра. Показано, что результирующая функция, получаемая без использования так... Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно и коррел... 1.3.5. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в сп...

Авторегрессионное спектральное оценивание

Введение Одна из причин применения параметрических моделей случайных и... Далее рассматриваются следующие методы метод Юла-Уалкера оценивания ав... . Авторегрессионное спектральное оценивание. 1.4.3.

Методы оценивания коэффициентов отражения

Геометрический алгоритм. 1.4.3.1. . В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффи... Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответствен...

Гармонический алгоритм Берга

Рассмотрим алгоритм, который в решении нормальных уравнений учитывает ... . Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют след... Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 1.4.6. Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффици...

Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов

Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5.

Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего

Используя АР-оценки высокого порядка можно записать следующую систему ... Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы... . Этот фильтр имеет системную функцию вида, где - оценки авторегрессионн... Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего ...

Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии

На собственные векторы натянуто подпространство шума матрицы и всем им... На главные собственные векторы натянуто подпространство сигнала матриц... Сохранение одной лишь информации, соответствующей собственным векторам... Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент под... Свойство инвариантных прямых подпространств подпространств шума и сигн...

Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала

Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала . 1.7.3.

Оценки частоты в пространстве шума. Глава

2.4. Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени пр... Глава. От этого недостатка свободны все остальные взятые в рассмотрение метод... Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества ...

приложения D . Оценки по методу минимума дисперсии и оценки, полученные авторегрессионными методам, связаны некоторыми соотношениями, поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках.

В случае алгоритмов, основанных на сингулярном разложении матрицы данных, значительные ложные пики также имеют место при увеличении порядка модели. Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабые синусоидальные составляющие.

В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношение сигнал шум для всех методов, при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующие результаты исследования.

Приложение F включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты.

Выбор правильных параметров в методах, функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значительными трудностями.

С одной стороны, если рассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод, выбор большего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению достоверности спектра, с другой стороны это приводит к возрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы, а на больших порядках модели, вообще, к разрушению алгоритма.

В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов под представлением понимается следующий набор установок частота дискретизации из диапазона 8 Кгц 44 Кгц количество каналов - 1 моно 2 стерео, количество битов на отсчет 8 бит 16 бит и для каждого набора параметров схемы, осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени количество значения из диапазона 3, ,128 и длина буферных областей задержек данных на входе и выходе значения из диапазона 256, ,16384 отчета было выбрано компромиссное решение.

Результаты приведены в приложении G. Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели, как правило, не известно, на практике приходится испытывать несколько порядков моделей.

Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки, по которому затем определяем требуемый порядок модели.

Если порядок модели выбран слишком малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим - увеличивается разрешение, но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию выбор порядка моделей эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания.

Очевидно, что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума.

Однако во всех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели.

Следовательно, одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев - своего рода целевых функций.

Рассмотрим некоторые из них. Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания ООП . Согласно этому критерию, выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на каждом шагу предсказания где N - число отсчетов данных, p- порядок АР-процесса и - оценочное значение дисперсии белого шума которая будет использоваться в качестве ошибки линейного предсказания. Выбирается такое значение порядка, при котором величина ООП минимальна.

Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только для идеальных авторегрессионных процессов, а в случае реальных данных результат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием, основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике он представляет исключительно теоретический интерес, а на практике используется как нижняя граница порядка модели На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N 3 до N 2 где N - длина обрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Н приведены графики оценок СПМ, полученных при различных значениях порядка модели. Особенности реализации Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов, включающий в себя средства межзадачного обмена данными, то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов, определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам.

Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевых распределенных схем алгоритмов. Существует большое количество приложений этого подхода. Заключение В данной работе 1. Tеоретически проанализированы методы спектрального анализа, а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в реальном масштабе времени. 2. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов. 3. Дано описание и выполнена реализация схемы управления процессом обработки данных в реальном времени, использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем. 4. Cформулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входного сигнала. 5. Получены результаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основе выбрано наилучшее решение в смысле разрешения недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна, а выбор параметров метода второстепенен по отношению к выбору окна в каждом эксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.

Приложениe А. Смещение периодограммы Уэлча. Здесь доказывается факт, который используется в разделе классических методов.

Среднее периодограммы Уэлча можно записать в следующем виде Докажем, что его можно представить в виде свертки истинного спектра спектральной плотности мощности и нормированного квадрата модуля дискретно-временного преобразования используемого окна данных, то есть как, где и Рассмотрим выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот Найдем непосредственно квадрат модуля в последнем равенстве Подставив в формулу для математического ожидания периодограммы Уэлча, получим следующее выражение Введем в рассмотрение следующее окно данных свертка используемого окна данных с тем же комплексно сопряженным, но в обратном времени, окном Его дискретно-временное преобразование Фурье равно, по теореме о свертке во временной области, произведению преобразований Фурье окна данных и окна. Если заметить, что преобразование окна равно комплексно-сопряженному преобразованию окна, то искомое выражение для будет равно квадрату модуля, где Заменяя кратную сумму в выражении и учитывая, то обстоятельство, что за пределами интервала шириной D отсчетов окно данных тождественно равно нулю, имеем Приложениe I. Список используемой литературы.