Гармонический алгоритм Берга

Гармонический алгоритм Берга. Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга что приводит к следующей оценке 1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.

Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения. Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.

Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p используются последовательность данных. Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета будет иметь форму где - коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p. Ошибка линейного предсказания В матричном виде это выражение записывается как и соотношение для ошибки Однако если рассматривать, в котором минимизируется следующая, невзвешенная выборочная дисперсия то матрица принимает теплицевый вид далее ее будем обозначать. Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид Элементы эрмитовой матрицы имеют вид корреляционных форм, где Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводит количество вычислений к. При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы операций.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка Здесь вектор данных, вектор коэффициентов линейного предсказания вперед и вектор линейного предсказания назад определяется следующими выражениями На основе отсчетов измеренных комплексных данных ковариационный метод линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад, что приводит к следующим нормальным уравнениям , Введем необходимые для дальнейшего определения, исходя из вида и можно записать где вектор столбцы и даются выражениями , Важными также являются следующие выражения Пара векторов-столбцов и определяются из выражений Аналогично определяются вектора и, а также и через матрицы и. Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом, где, в котором Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад, где , Векторы и должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка Используя тот факт, что является эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для и Введем скалярные множители Соответствующие рекуррентные выражения для и имеют следующий вид Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад, где комплексный скаляр удовлетворяет выражениям Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров и даются следующими выражениями , Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 1.4.6.