Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего

Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего. Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров.

Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка.

Пусть - системная функция СС q -процесса -системная функция АР-процесса, эквивалентного этому СС q -процессу, то есть Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим причем Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка можно записать следующую систему уравнений В идеальном случае ошибка должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m 0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения здесь используется либо Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера, либо Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем.

Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу этап второй. Этот фильтр имеет системную функцию вида, где - оценки авторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов.

Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна, поэтому Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией, получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего.

Этап третий для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела.

Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид, где - оценка автокорреляции, полученная по фильтрованной последовательности Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе 1.6.