Анализ сигналов. Видеосигнал 1.1 Математическая модель видеосигнала Математическая модель видеосигнала f(t) имеет вид: , (3.1) где - время, сек; T – период сигнала, сек; Um – амплитуда сигнала, В; Используя единичную функцию Хевисайда, видеосигнал можно представить в следующем виде: ,(3.2) Подставляя численные значения амплитуды (Um=1В) и периода (Т=35мс), в (3.2) построим график видеосигнала рисунок 1. Рисунок 3.1- Видеосигнал 1.2 Спектр видеосигнала Спектральную плотность видеосигнала находим с помощью прямого преобразования Фурье математической модели видеосигнала (3.2): , (3.3) где L – оператор Фурье; F(j) – спектральная плотность видеосигнала, В; - циклическая частота, ; j – мнимая единица.
Имеем: , (3.4) Используя подстановку, где f – частота Гц, преобразуем выражение (3.4) и перейдем к частоте в герцах. (3.5) Данные положения иллюстрируются графиком спектральной плотности видеосигнала рисунок 3.2. Рисунок 3.2 - Спектральная плотность видеосигнала 3.2 Периодическая последовательность видеосигналов 3.2.1 Математическая модель периодической последовательности видеосигналов Математическую модель периодической последовательности видеосигналов fT(t) можно представить в следующем виде: , (3.6) где n – переменная суммирования, целое число.
Графическое изображение периодической последовательности видеоимпульсов приведено на рисунок 3.3. Рисунок 3.3 - Периодическая последовательность видеосигналов. 3.2.2 Спектр периодической последовательности видеосигналов Периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье: , (3.7) где X[n] – коэффициенты ряда Фурье. (3.8) Согласно выражениям (3.8) и (3.9) периодический сигнал состоит из суммы бесконечного числа гармонических колебаний кратных частот (гармоник), вклад которых в общую сумму определяется весовыми коэффициентами X[n]. Таким образом, являясь амплитудами дискретных частотных компонентов (гармоник) составляющих данный сигнал, коэффициенты X[n] образуют дискретный спектр периодического сигнала рисунок 3.4. «Востановленный» с помощью ряда Фурье сигнал, при суммировании десяти первых гармоник, приведен на рис 3.5. Рисунок 3.4 - Спектр периодического сигнала.
Рисунок 3.5 - Сигнал представленный рядом Фурье, первая и вторая гармоники (пунктирные линии). 3.3 Радиосигнал 3.3.1 Математическая модель радиосигнала Радиосигнал с огибающей в форме видеосигнала находим из соотношения: , (3.9) где - математическая модель радиосигнала, В; f0 - частота несущего высокочастотного колебания, Гц; - начальная фаза колебания, рад. Найдем частоту несущего высокочастотного колебания f0, которая совпадает с резонансной частотой колебательного звена: (3.10) где - индуктивность колебательного звена, Гн, - значение емкости колебательного звена, Ф. Подставляя численное значение частоты несущего высокочастотного колебания (f0=918,9 кГц), в (3.9) построим график радиосигнала рисунок 3.6. Рисунок 3.6 - Радиосигнал 3.3.2 Спектр радиосигнала Для отыскания спектральной плотности радиосигнала воспользуемся соотношением: , (3.11) где - спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах, В; Таким образом, подставляя в выражение (3.11) аналитическое выражение для спектральной плотности видеосигнала (3.5) , и принимаем. Графическое изображение спектральной плотности радиосигнала приведено на рисунок 3.7. Как видно, при достаточно большом значении частоты несущего высокочастотного колебания, спектральная плотность радиосигнала представляет собой две симметричные копии спектра видеосигнала с половинной амплитудой перенесенные на частоту несущего колебания.
Рисунок 3.7 - Спектральная плотность радиосигнала 3.4 Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу Аналитический сигнал, соответствующий реальному физическому сигналу, определяется соотношением: , (3.12) где - функция, сопряженная по Гильберту выходному сигналу; - реальный физический сигнал. . (3.13) Также аналитический сигнал может быть представлен через модуль аналитического сигнала , (3.14) и полную фазу (3.15) в виде (3.16) Для радиосигнала полную фазу можно записать в форме: , (3.17) где 0 - частота несущего высокочастотного колебания, ; (t) - изменяющаяся во времени фаза, рад; 0 - постоянная во времени начальная фаза, рад. В этом случае аналитический сигнал определяется соотношением: , (3.18) где -комплексная огибающая аналитического сигнала, соответствующего радиосигналу, В; Заметим, что комплексная огибающая аналитического сигнала вещественна, то есть не имеет мнимой составляющей и представляет собой видеосигнал (3.2). Поэтому аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу можно представить: Спектральная плотность аналитического сигнала сосредоточена только в области положительных частот и находится из соотношения: , (3.19) где - спектральная плотность радиосигнала (3.11) Построим график спектральной плотности аналитического сигнала рисунок 3.8. Рисунок 3.8 - Спектральная плотность аналитического сигнала 3.5 Дискретный сигнал, соответствующий видеосигналу В соответствии с теоремой Парсеваля полная энергия сигнала равна: , (3.20) Ограничим спектр исходного видеосигнала некоторой граничной частотой fg, таким образом, что бы энергия сигнала, с «ограниченным спектром» была равна 99% энергии исходного сигнала.
Находим граничную частоту по формуле, из условия: , (3.21) Получаем fg63,2 кГц. Если теперь считать, что сигнал имеет спектр, наивысшая частота которого равна fg, то в соответствии с теоремой Котельникова, сигнал может быть полностью определен дискретными выборками, взятыми с частотой 2fg, называемой частотой дискретизации.
Найдем интервал дискретизации Td: , (3.22) Математическую модель дискретного fd(n) сигнала можно записать в следующем виде: , (3.23) где n, k – целые числа; f(kTd) – выборки из видеосигнала (3.2) кратные интервалу дискретизации; (n) – единичный импульс определенный как: , (3.24) Графическое изображение дискретного сигнала fd(n) приведено на рисунок 3.9. Рисунок 3.9 - Дискретный сигнал Для отыскания спектральной плотности дискретного сигнала воспользуемся соотношением: , (3.25) где - спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах.
Модуль спектральной плотности дискретного сигнала приведен на рисунок 3.10. Рисунок 3.10 - Модуль спектральной плотности дискретного сигнала, модуль спектральной плотности видеосигнала. Таким образом, спектр дискретного сигнала периодичен по частоте, с периодом равным частоте дискретизации.
Если эффект наложения спектров отсутствует, то в полосе частот от минус половина частоты дискретизации до плюс половина частоты дискретизации, спектр дискретного сигнала равен спектру аналогового сигнала.
Для случая приведенного на рисунок 3.11 это условие не выполняется.
Поэтому восстановленный сигнал будет искажен рисунок 3.11. 3.6 Сигнал представленный рядом Котельникова Получить сигнал, определенный в любой момент времени (аналоговый сигнал fa(t)) можно используя интерполяционную формулу: , (3.26) Данный ряд называется рядом Котельникова и позволяет полностью восстановить аналоговый сигнал fa(t) из дискретных выборок этого сигнала, если сигнал fa(t) имеет ограниченный спектр с максимальной частотой fg, и если выборки взяты с частотой не меньшей 2fg. Поскольку сигнал, подвергнутый дискретизации (3.2), имеет неограниченный спектр (3.5), то восстановление сигнала (3.26) по его выборкам (3.23), будет неточным.
Уменьшить ошибку до любого уровня можно увеличивая частоту дискретизации.
Сигнал восстановленный с помощью выражения (3.26), приведен на рисунок 3.11. Рисунок 3.11 - Сигнал представленный рядом Котельникова. 3.7 Выводы Анализируя формулы и графики, приведенные в разделе 3 можно сделать несколько выводов: 1) Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот. 2) Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала. 3) Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f0)ω0. 4) Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму спектров видеосигнала смещенных друг относительно друга на n2fg. 4