Гармонические колебания и их характеристики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕНРНОЙ ЭКОЛОГИИ Реферат по физике на тему Гармонические колебания и их характеристики Выполнил студент группы К-11 Тарасов АлексейПреподаватель доцент Маштакова В. А.Москва 1998 г.Гармонические колебания и их характеристики.Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определеннойповторяемостью во времени.Колебательные процесс широко распространены в природеи технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток ит.д. При колебательном движении маятника изменяется координата егоцентра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи.Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические,электромагнитные и другие.

Однако различные колебательные процессы описываютсяодинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.Отсюда следует целесообразностьединого подхода к изучению колебаний различной физической природы.Например ,единый подход к изучению механических и электромагнитных колебанийприменялся английским физиком Д. У. Релеем 1842-1919 , а А.Г. Столетовым,русским инженером-экспериментатором П.Н.Лебедевым 1866-1912 . Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л.И.Мандельштам 1879-1944 и его ученики.Колебания называются свободными или собственными ,если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующемотсутствии внешних воздействий на колебательную систему систему, совершающуюколебания . Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания- колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса косинуса .Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам 1. Колебания встречающиеся в природе и технике, частоимеют характер, близкий к гармоническому 2. Различные периодические процессы процессы,повторяющиеся через равные промежутки времени можно представить как наложениегармонических колебаний.

Гармонические колебания величины s описываютсяуравнением типа s A cos w0 t j , 1 где n А -максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,n w0 - круговая циклическая частота, n j - начальнаяфаза колебания в момент времени t 0,n w0 t j - фаза колебанияв момент времени t. Фаза колебания определяет значенияколеблющейся величины в данный момент времени.

Так как косинус изменяется впределах от 1 до -1, то s может приниматьзначения от А до -А.Определенныесостояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются черезпромежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фазаколебания получает приращение равное 2p, т.е. w0 t T j w0t j 2p , откуда T 2p w2 Величина, обратная периодуколебаний, n 1 T 3 т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотойколебаний. Сравнивая 2 и 3 , получим w0 2p n. Единицачастоты - герц Гц 1 Гц - частота периодического процесса, при которойза 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Запишемпервую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s 4 5 т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой.

Амплитудывеличин 5 и 4 соответственно равны и .Фаза величины 4 отличается от фазы величины 1 на p 2, а фаза величины 5 отличается от фазы величины 1 на p. Следовательно, в моменты времени, когдаs 0, приобретает наибольшие значения когда же s достигаетмаксимального отрицательного значения, то приобретает наибольшееположительное значение см. рисунок 1 .Извыражения 5 следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний 6 где s A cos w0 t j . Решениемэтого уравнения является выражение 1 . Гармоническиеколебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методомвекторных диаграмм.

Для этого из произвольной точки О, выбранной наоси x под углом j, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которогоравен амплитуде А рассматриваемого колебания см. рисунок 2 . Еслиэтот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будетперемещаться по оси x и приниматьзначения от -А до А , аколеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s A cos w0 t j . Такимобразом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А,отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростьюw0 вокруг этой точки.Вфизике часто применяется другой метод, который отличается от методавращающегося вектора амплитуды лишь по форме.

В этом методе колеблющуюсявеличину представляют комплексным числом.

Согласно формуле Эйлера, длякомплексных чисел 7 где - мнимая единица.

Поэтому уравнение гармоническогоколебания 1 можно записать в комплексной форме 8 вещественная часть выражения 8 представляетсобой гармоническое колебание.Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде. Втеории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексноговыражения, стоящего в этом равенстве справа.Задачи.1.Амплитуда гармоническихколебаний материальной точки равна 5 см. Масса материальной точки 10 г и полная энергия колебаний дж. Написатьуравнение гармонических колебаний этой точки с числовыми коэффициентами , еслиначальная фаза колебаний равна . РешениеОбщее уравнение гармоническихколебаний имеет вид 1 Унас А 5 см Период Тколебаний неизвестен, но его можно найтииз условия . Отсюда 2 У нас м, m кг и . Подставляя этиданные в 2 , получим Т 4 сек. Тогда , и уравнение 1 примет вид см. Отметим, что таккак - величинабезразмерная, то А не обязательноподставлять в метрах наименование x будет соответствовать наименованию А.