Теория электрической связи. Конспект лекций - 2 часть

 

Министерство Российской Федерации

по связи и информатизации

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М.А.Бонч-Бруевича

 

 

А.П. Сальников

 

 

ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

 

Конспект лекций

Часть 2

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003

УДК 621.391.1

 

 

Сальников А.П. Теория электрической связи: Конспект лекций, часть 2/ СПбГУТ.-СПб., 2003.– с.: ил.

 

Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электрической связи».

Содержит общие сведения о математических моделях случайных сигналов и помех, их преобразованиях в различных функциональных узлах. Рассмотрены задачи оптимального когерентного и некогерентного приема дискретных сообщений, реализации соответствующих демодуляторов для двоичных систем связи и определения помехоустойчивости для основных видов цифровой модуляции.

Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС.

 

Ответственный редактор М.Н. Чесноков

 

© Сальников А.П., 2003

© Издание Санкт-Петербургского государственного университета

телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 2003

Математические модели случайных процессов

Сигналы в системах передачи информации и действующие в них помехи по своей природе являются случайными процессами. Для их описания необходимо применять математический аппарат теории вероятностей и случайных процессов. Настоящую главу следует рассматривать как развитие раздела 2. Математические модели сигналов (Теория электрической связи. Конспект лекций. Часть 1) применительно к случайным процессам.

 

Понятие случайного процесса

Для полного описания сечений X(ti) СП необходимо указать законы распределения значений СП в этих сечениях. Они могут быть заданы в интегральной…    

Сокращенное описание случайных процессов

1. Математическое ожидание СП – начальный момент первого порядка 2. ДисперсияСП – центральный момент второго порядка

начальные

,

центральные

Нетрудно видеть, что моменты полностью определяются одномерным распределением и в общем случае произвольного СП являются детерминированными… 1. Корреляционная (автокорреляционная) функция – центральный смешанный момент… .

Некоторые свойства корреляционной функции СП:

2. Доказательство:

Спектральный анализ случайных процессов

Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье . Распространение этого подхода на случайные процессы наталкивается на ряд серьезных проблем:

Свойства энергетических спектров случайных процессов

2. – четная функция. .

Примеры энергетических спектров некоторых стационарных СП:

 

1. Квазибелый шумN_F(t)

Энергетический спектр такого процесса () равномерен в ограниченной полосе частот (–F, +F) (рис. 4.3).

 

Корреляционная функция квазибелого шума имеет вид (рис. 4. 4)

.

 

 

Из полученного результата вытекает некоррелированность отсчетов квазибелого шума, взятых через интервалы времени k/2F. Для нормального процесса эти отсчеты оказываются еще и независимыми.

2. Белый шумN(t)

Энергетический спектр белого шума () равномерен в бесконечной полосе частот (рис. 4.5).

Корреляционная функция белого шума (рис. 4.6)

,

здесь использовано одно из определений дельта-функции

.

Из этих результатов вытекает статистическая независимость любых сколь угодно близких сечений такого процесса и его неограниченная дисперсия (мощность)

.

3. Синхронный телеграфный сигналX(t)

Синхронный телеграфный сигнал (CТС) представляет собой стационарный дискретный случайный процесс, принимающий на тактовых интервалах длительностью Т значения +h с вероятностью Р(0) или –h с вероятностью Р(1). Возможная реализация такого процесса показана на рис. 4.7.

 

 

Вычислим корреляционную функцию СТС, исходя из ее определения

,

где

.

В силу стационарности и при Р(0) = Р(1) = 0,5 имеем == 0 и

Далее учтем, что произведение , если , где временной интервал от сечения t₁ до ближайшей границы такта (сечения принадлежат одному тактовому интервалу). В противном случае (при )

,

где Р(0/0), Р(0/1), Р(1/0) и Р(1/1) – переходные вероятности передачи символов в соседних тактовых интервалах, которые будем считать одинаковыми.

Таким образом

,

где – плотность вероятности временного интервала . Окончательно, учитывая свойство четности корреляционной функции стационарного процесса, получим

.

По полученной корреляционной функции несложно рассчитать энергетический спектр синхронного телеграфного сигнала (4.2)

.

Графики корреляционной функции и энергетического спектра синхронного телеграфного сигнала приведены на рис. 4.8.

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение случайного процесса (СП).

2. Каким образом дают исчерпывающее описание произвольного СП?

3. Каков смысл и размерность n-мерной функции распределения СП?

4. Каков смысл и размерность n-мерной плотности вероятности СП?

5. Как связаны функция распределения и плотность вероятности между собой?

6. Дайте определение математическому ожиданию СП и укажите его размерность и сущность как математического объекта.

7. Дайте определение дисперсии СП и укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

8. Как осуществляют центрирование СП?

9. Определите функцию корреляции СП.

10. Какие СП называют стационарными в широком и узком смыслах?

11. Какие СП называют эргодическими?

12. Дайте определение постоянной составляющей СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

13. Дайте определение мощности СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

14. Какие СП называют нормальными (гуссовскими)?

15. Что понимают под временем корреляции СП?

16. Укажите основные свойства корреляционной функции стационарных СП?

17. Дайте определение спектральной плотности энергии СП и укажите ее размерность.

18. Дайте определение спектральной плотности мощности (энергетическому спектру) СП и укажите ее размерность.

19. Каковы связи между корреляционной функцией и энергетическим спектром стационарных СП?

20. Укажите основные свойства энергетического спектра стационарных СП.

21. Какой СП называют белым шумом? Укажите основные его свойства.

22. Какой СП называют квазибелым шумом? Укажите основные его свойства.

23. Какой СП называют синхронным телеграфным сигналом? Какова его корреляционная функция?

24. Как выглядит энергетический спектр синхронного телеграфного сигнала?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных

исследований случайных процессов

Для закрепления полученных при изучении раздела 4 знаний на базе виртуальной лаборатории можно провести экспериментальные исследования случайных… · осциллограф – для наблюдения реализаций СП во временной области, · анализатор спектра – для наблюдения реализаций СП в частотной области,

Прохождение случайных процессов через

преобразователи сигналов

В общем случае решение задачи прохождения заданного СП через конкретную электрическую цепь – функциональный узел (ФУ) произвольной сложности…  

Прохождение случайных процессов

через безынерционные цепи

Безынерционная цепь (безынерционный функциональный узел –БФУ) полностью описывается функциональной зависимостью y = f(x), связывающей мгновенные… Для вычисления одномерной плотности вероятности реакции w(y) по известной… ,

Функциональное преобразование двух случайных процессов

Заданы два случайных процесса X1(t) и X2(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпадающие моменты времени w(x1, x2­; t). С… .

Прохождение случайных процессов через линейные цепи

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен… Для вычисления энергетического спектра GY(f) реакции линейного ФУ с…

Постановка задачи

Дано:

1) X(t) = A(t)cosY(t) – узкополосный центрированный стационарный нормальный СП (на выходе ПФ),

2) .

Определить:

1) w(A) – одномерную плотность вероятности огибающей,

2) w(Y) – одномерную плотность вероятности фазы.

Для решения этой задачи наметим три этапа:

1. Переход к аналитическому СП и определение совместной плотности вероятности .

2. Расчет совместной плотности вероятности по вычисленной на первом этапе и связям A(t), Y(t) с (5.3) ÷ (5.6) .

3. Определение одномерных плотностей вероятности w(A) и w(Y) по вычисленной совместной плотности вероятности .

Решение

1 этап. Найдем одномерную плотность вероятности процесса . На основе линейности преобразования Гильберта делаем вывод о том, что – нормальный СП. Далее, учитывая, что , получаем , а следовательно

.

Таким образом, имеем

.

Докажем некоррелированность в совпадающие моменты времени, т. е. что .

.

После подстановки , , , учитывая, что при , получим

.

Некоррелированность сечений нормальных процессов влечет их независимость, следовательно

.

2 этап. Расчет совместной плотности вероятности

,

где согласно (5.2), (5.5) и (5.6)

.

Следовательно, с учетом (5.3) имеем

. (5.7)

3 этап. Определение одномерных плотностей вероятности

,

Окончательно

, (5.8)

. (5.9)

 

Выражение (5.8) известно как распределение Рэлея, его график приведен на рис. 5.8. На рис. 5.9 приведен график равномерного распределения фазы (5.9).

Выражение (5.7) можно представить в виде произведения (5.8) и (5.9)

,

из чего следует независимость огибающей A(t) и фазы w(Y) нормального СП.

Рассмотрим более сложную задачу прохождения аддитивной смеси выше рассмотренного нормального СП с гармоническим сигналом через АД и ФД. Постановка задачи сохраняется прежней за исключением исходного процесса Y(t) , который приобретает вид

,

где X(t) – центрированный нормальный СП.

Поскольку

,

то

.

Запишем Y(t) в квазигармонической форме

и будем решать задачу определения плотностей вероятности w(A) и w(j) по выше приведенному плану.

Предварительно запишем X(t) в квазигармонической форме и через его квадратурные компоненты

.

Тогда

,

где

Отсюда

, (5.10)

(5.11)

Для нахождения обратимся к аналитическому СП

.

Из его выражения видно, что являются линейными преобразованиями центрированного нормального СП X(t):

и, следовательно, имеют нормальное распределение с дисперсиями

.

Докажем их некоррелированность (а следовательно и независимость) в совпадающие моменты времени

.

Здесь учтено, что B(t) и θ(t) – огибающая и фаза нормального СП являются, как выше установлено, независимыми.

Таким образом,

и с учетом (5.10) и (5.11) получаем

. (5.12)

Поскольку выражение (5.12) невозможно представить в виде произведения одномерных функций , то можно сделать вывод о зависимости процессов .

Для нахождения распределения огибающей суммы центрированного нормального СП с гармоническим сигналом проинтегрируем (5.12) по всем возможным значениям случайной фазы j(t)

.

Интеграл вида

известен в математике как модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. С его учетом окончательно имеем

. (5.13)

Выражение (5.13) называют обобщенным распределением Рэлея или распределением Райса. Графики этого выражения приведены на рис. 5.10 для следующих частных случаев:

1) U = 0 – обычное распределение Рэлея,

2) – случай отсутствия в Y(t) СП X(t),

3) – обобщенное распределение Рэлея (Райса).

 

Из графиков видно, что чем больше отношение сигнал/шум тем правее смещен максимум плотности вероятности и тем симметричнее (ближе к нормальному распределению) кривая .

 

Выводы

1. Если мгновенные значения центрированного СП X(t) имеют нормальное распределение, то его огибающая A(t) распределена по закону Релея

,

а фаза Y(t) равномерно

.

2. Распределение огибающей аддитивной смеси центрированного нормального СП и гармонического сигнала подчиняется обобщенному распределению Рэлея (оно же распределение Райса)

.

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу анализа прохождения СП через заданный функциональный узел.

2. Как вычисляют плотность вероятности w(y) реакции безынерционной цепи по известной плотности вероятности w(x) воздействия?

3. Как вычисляют математическое ожидание реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

4. Как вычисляют дисперсию реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

5. Как вычисляют функцию корреляции реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

6. Как вычисляют совместную плотность вероятности w(у₁, у_2­; t) двух СП Y₁(t) и Y₂(t), связанных известными функциональными зависимостями и с двумя другими СП X₁(t) и X₂(t)?

7. Как меняется распределение нормального СП при его прохождении через линейную цепь?

8. Как меняется произвольное распределение СП при его прохождении через узкополосный фильтр?

9. В чем суть явления нормализации широкополосного процесса при его прохождении через узкополосный фильтр? Дайте математическое обоснование этому явлению.

10. Опишите процедуру корреляционного анализа прохождения СП через линейную цепь.

11. Дайте определение огибающей и фазы СП.

12. Дайте определения аналитическому СП, его математическому ожиданию, дисперсии и функции корреляции.

13. Каким условиям удовлетворяет стационарный аналитический СП?

14. Каково распределение огибающей центрированного нормального СП?

15. Каково распределение фазы центрированного нормального СП?

16. Каково распределение огибающей суммы центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

17. Напишите аналитическое выражение закона Рэлея. Распределение какого СП он характеризует?

18. Напишите аналитическое выражение обобщенного закона Рэлея (закона Райса). Распределение какого СП он характеризует?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

прохождения случайных процессов через различные ФУ

Для закрепления знаний, полученных при изучении данного раздела рекомендуется выполнить в рамках виртуальной лаборатории работу № 20 «Прохождение… Обратите внимание на характер распределения СП на выходах одностороннего и… 6. Оптимальный прием дискретных сообщений

Постановка задачи

Дано:

1. Источник дискретных сообщений. Это значит, что известен ансамбль передаваемых сообщений

, где m– объем алфавита источника

и их статистика (распределение вероятностей) .

2. Модулятор. Это значит, что известны правила преобразования каждого сообщения в непрерывный сигнал и длительность сигнала T

b_i ® s_i(t); i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

3. Непрерывный канал. Канал задается своей математической моделью, описывающей связь его реакции Z(t) с воздействием s_i(t) и канальными помехами N(t), например

4. Тактовая синхронизация осуществляется идеально. Вопросы синхронизации не рассматриваются в рамках курса ТЭС, поэтому здесь и в дальнейшем всегда будем считать, что границы между сигналами s_i(t) в приемнике определяются точно, иначе говоря, в нем осуществляется дискретизация времени функцией d(t-kT), при которой границы тактов совпадают с границами сигналов.

Требуется:

Определить правило решения (решающую схему)вида

,

т.е. указать, каким образом на основе анализа принятой реализации z(t) СП Z(t) на каждом интервале Т следует принимать решение о переданном символе b_i (при j = i имеет место правильный прием, иначе (при j ≠ i) – ошибочный).

Дадим геометрическую трактовку этой постановке задачи (рис. 6.1). Совокупность всех возможных реализаций z(t) образует пространство принимаемых колебаний (обычно бесконечномерное пространство Гильберта L₂(T)) в котором присутствуют m различных векторов передаваемых сигналов s_i(t) (i = 1, 2,…, m). Выбор правила решения таким образом сводится к разбиению этого пространства на m непересекающихся областей , каждая из которых соответствует принятию решения о передаче конкретного сообщения b_i (сигналом s_i(t)). На рис. 6.1. показаны две ситуации: 1) конец вектора колебания попадает в область отведенную под решение о передаче сообщения b_k сигналом s_k(t), что соответствует правильному приему; 2) конец вектора колебания попадает в область , отведенную под решение о передаче сообщения b_j сигналом s_j(t), что соответствует ошибочному приему.

Разные правила решения (разные приемные устройства) различаются способом разбиения пространства принимаемых колебаний на области . В этой связи возникает задача наилучшего разбиения, которое, очевидно, всегда существует в определенном смысле. Например, если сообщение b_i передается чаще сообщения b_j и важно , чтобы как можно меньше передаваемых символов принимались ошибочно, то следует область расширить за счет области . Наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимизация решающей схемы) может быть найдено на основе критерия качества приема, разработка которого требует отдельного рассмотрения на основе теории статистический решений.

В такой постановке задача приема дискретных сообщений в канале с аддитивной, нормальной помехой была решена В.А. Котельниковым (1946 г.), заложившим основы теории потенциальной помехоустойчивости. Приемник, реализующий наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов по выбранному критерию качества приема, Котельников назвал идеальным, а достигаемую им помехоустойчивость, при которой обеспечивается максимум средней вероятности правильного приема при заданной модуляции, –­­­ потенциальной помехоустойчивостью. Мы будем в дальнейшем такой идеальный приемник называть оптимальным демодулятором, как это часто принято в современной теории связи.

Теория потенциальной помехоустойчивости конструктивна, т.к. позволяет не только определить пределы достигаемой помехоустойчивости, но и указывает пути реализации соответствующих демодуляторов.

 

Критерии качества приема дискретных сообщений

 

Критерий идеального наблюдателя

  Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного… Для двоичной системы

Критерий максимального правдоподобия

Полагая, что все передаваемые сообщения равновероятны , из (6.5) получим

Критерий минимального среднего риска

  Для учета разных последствий ошибок передачи различных сообщений следует… ,

Критерий Неймана-Пирсона

Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а… 1) пропуск цели (цель есть, но отраженный сигнал не обнаружен) с условной… 2) ложная тревога (цель отсутствует, но принято решение о наличии отраженного сигнала) с условной вероятностью .

Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте задачу оптимального приема дискретных сообщений.

2. Дайте геометрическую трактовку задаче оптимального приема дискретных сообщений.

3. Что называют правилом решения (решающей схемой) демодулятора?

4. Что такое идеальный (оптимальный) приемник дискретных сообщений?

5. Что понимают под потенциальной помехоустойчивостью приема дискретных сообщений?

6. В чем суть теории потенциальной помехоустойчивости? Когда и кем были заложены ее основы?

7. Какой смысл вкладывают в понятие критерия качества приема дискретных сообщений? Перечислите известные Вам критерии.

8. В чем суть критерия идеального наблюдателя (критерия Котельникова)?

9. Укажите особенности критерия Котельникова.

10. Что представляет собой критерий максимального правдоподобия? Как он соотносится с критерием Котельникова?

11. Расскажите о критерии минимального среднего риска. В чем его общность?

12. При каких условиях критерий минимального среднего риска совпадает с критерием Котельникова?

13. При каких условиях критерий минимального среднего риска совпадает с критерием максимального правдоподобия?

14. В чем сущность критерия Неймана-Пирсона? В каких случаях целесообразно его использование?

 

Синтез оптимального демодулятора при

известном ансамбле сигналов (когерентный прием)

 

Постановка и решение задачи когерентного приема

на корреляторах

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{s_i(t)}; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал

,

где N(t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. В качестве критерия качества приема задан критерий максимального правдоподобия (6.6)

 

Требуетсясинтезировать оптимальный демодулятор, иначе говоря, найти алгоритм оптимальной обработки входного сигнала и принятия решения о передаваемом сообщении.

Решение

В основу решения положим выражение заданного критерия качества приема, для чего рассмотрим входящие в него функции правдоподобия гипотез:

1) о наличии во входном колебании z(t) i-го сигнала [z(t) = s_i(t) + n(t)]

,

2) об отсутствии в нем какого-либо сигнала [z(t) = n(t)]

,

где .

Начнем с последней. Учитывая, что сечения квазибелого шума, разделенные интервалами , не коррелированны, а в силу нормального распределения шума и независимы, получим

.

Поскольку СП Z(t) = s_i(t)+ N(t) отличается от шума N(t) только известным, а потому неслучайным сигналом s_i(t), играющим роль математического ожидания Z(t), то

,

где использовано обозначение s_i,k = s_i(t_k).

В итоге отношение правдоподобия гипотез о наличии и отсутствии сигнала принимает вид

или с учетом

.

Перейдем к белому шуму, сняв ограничение на ширину его спектра (F ® ¥). Иначе говоря, от евклидова пространства перейдем к гильбертовому. При этом

и

. (6.10)

Синтезируемый демодулятор должен принимать решение в пользу , обеспечивающего максимум выражения (6.10), или, что эквивалентно, максимум показателя экспоненты в нем

. (6.11)

Нетрудно видеть, что максимум (6.11) достигается при минимуме вычитаемого

. (6.12)

Демодулятор оптимальный по критерию максимального правдоподобия принимает решение в пользу того символа , сигнал s_i(t) которого отстоит от принятого колебания z(t) на меньшее расстояние.

Рассматривая выражение (6.12) как алгоритм обработки принятого колебания z(t) приходим к схеме демодулятора, представленной на рис. 6.2.

 

Другую форму алгоритма можно получить из выражения (6.11)

,

или

, (6.13)

где E_i – энергия i-го сигнала.

Схема оптимального демодулятора, реализующего алгоритм (6.13), приведена на рис. 6.3. Поскольку в каждой ветви такого демодулятора присутствует вычислитель скалярного произведения – коррелятор, то его называют демодулятором на корреляторах (активных фильтрах).

Если использовать сигналы равных энергий, то алгоритм (6.13) и схема демодулятора (рис. 6.3) существенно упрощаются (рис. 6.4)

. (6.14)

Все вышерассмотренные демодуляторы используют всю информацию о форме сигналов s_i(t), включая начальную фазу. В каждой их ветви содержатся генераторы, генерирующие синфазные образцы этих сигналов, поэтому их называют когерентными демодуляторами.

 

Синтез оптимального когерентного демодулятора

на согласованных фильтрах

Сохраняя постановку задачи синтеза демодулятора из предыдущего раздела и опираясь на алгоритмы (6.13) и (6.14), попробуем заменить коррелятор… Как известно, реакция линейного фильтра на воздействие z(t) вычисляется с…

Свойства согласованных фильтров

. Это свойство было положено в основу определения СФ (6.15).  

Амплитудно-частотная характеристика СФ

с точностью до коэффициента а повторяет амплитудный спектр сигнала, с которым он согласован

Фазо-частотная характеристика СФ

отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (без учета слагаемого –ωt0).   3. Форма отклика СФ на «свой» сигнал (сигнал с которым он согласован)

Согласованная фильтрация и корреляционный прием

некоторых типичных сигналов

Рассмотрим особенности когерентного приема некоторых сигналов и реализации соответствующих согласованных фильтров.

Прямоугольные видеоимпульсы

Вычислим передаточную функцию СФ .

Прямоугольные радиоимпульсы

Импульсная характеристика gСФ(t) согласованного с ним фильтра на интервале … .

Сложные двоичные сигналы

Синтез СФ для сложного двоичного сигнала произведем, отталкиваясь от его импульсной характеристики (рис. 6.13,б). Видно, что требуемую форму можно… Проанализируем импульсную характеристику ТФ со стороны входа А, как его… Из двоичных n-последовательностей наибольший интерес представляют собой последовательности (коды) Баркера. Они…

Оптимальный когерентный прием при небелом шуме

. Передаточную функцию второго фильтра определим из условия его согласования с… .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу синтеза оптимального когерентного демодулятора.

2. Выведите алгоритм работы оптимального когерентного демодулятора.

3. Нарисуйте схему оптимального когерентного демодулятора на корреляторах.

4. В чем проявляется упрощение алгоритма (схемы) оптимального когерентного демодулятора при выборе ансамбля сигналов с равными энергиями?

5. Какие фильтры называют согласованными с сигналами?

6. Как импульсная характеристика согласованного фильтра связана с сигналом, с которым фильтр согласован?

7. Каковы передаточная функция, АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра?

8. Какова форма отклика согласованного фильтра на «свой» сигнал?

9. Какова длительность отклика согласованного фильтра на «свой» сигнал?

10. Чему равно отношение с/ш на выходе согласованного фильтра?

11. В какой степени изменяется отношение с/ш при согласованной фильтрации аддитивной смеси сигнала с нормальным белым шумом?

12. Нарисуйте схему оптимального когерентного демодулятора на согласованных фильтрах.

13. Нарисуйте схему реализации согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса.

14. Нарисуйте импульсную характеристику фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом, и его реакцию на «свой» сигнал.

15. Нарисуйте схему реализации согласованного фильтра для прямоугольного радиоимпульса.

16. Нарисуйте импульсную характеристику фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом, и его реакцию на «свой» сигнал.

17. Нарисуйте импульсную характеристику фильтра, согласованного со сложным двоичным сигналом, и его реакцию на «свой» сигнал.

18. Какие двоичные n-последовательности относятся к кодам Баркера? Каким свойством обладают их корреляционные функции? В чем полезность этих свойств для связи и радиолокации?

19. Нарисуйте схему трансверсального фильтра для формирования и согласованной фильтрации сложного двоичного сигнала.

20. Нарисуйте схему трансверсального фильтра для формирования и согласованной фильтрации произвольного F-финитного сигнала.

21. Какова передаточная функция, АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра при небелом шуме на его входе?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

оптимального когерентного приема

При исследовании согласованных фильтров убедитесь в соответствии их импульсных характеристик, АЧХ и реакций на «свои» сигналы теоретическим… Убедитесь в широких возможностях формирования F-финитных сигналов различных…

Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{s_i(t)}_m; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал

,

где N(t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. Алгоритм работы демодулятора (оптимального когерентного по критерию максимального правдоподобия) (6.13)

.

ОпределитьР - среднюю вероятность ошибочного приема.

Ограничимся случаем двоичной системы (m = 2), когда

.

Перепишем алгоритм (6.13) в развернутом виде

,

или

.

Из иной записи того же алгоритма

 

вытекает достаточность одной ветви в оптимальном демодуляторе, которая должна содержать либо коррелятор с опорным генератором разностного сигнала, либо согласованный с этим разностным сигналом фильтр (рис. 6.25). В этих демодуляторах в качестве решающих устройств используются компараторы со стробированием. Компаратор представляет собой дифференциальный усилитель с цифровым выходом и коэффициентом усиления К ® ¥. Напряжение на выходе компаратора может принимать одно из двух значений: высокое (уровень логической «1»), если напряжение на его прямом входе больше, чем на инверсном, и низкое (уровень логического «0») в противном случае. В данном случае производится сравнение выходного напряжения коррелятора или СФ с пороговым в моменты kT поступления коротких стробирующих импульсов. Символом «= =» в УГО компаратора обозначена операция сравнения, а кружком – инверсный вход.

Для решения поставленной задачи рассмотрим случайную величину Y_D(T) – отсчеты реакции СФ в конце каждого сигнала на входной СП Z(t) = s_i(t) + N(t). Очевидно, что Y_D(T) имеет нормальное распределение с двумя возможными математическими ожиданиями :

y₀ – при передаче сообщения b₀,

y₁ – при передаче сообщения b₁.

, .

Условные распределения величины Y_D(T) показаны на рис. 6.26

В двоичных системах имеют место ошибки двух типов. Определим их вероятности

, .

Средняя вероятность ошибочного приема

.

При равных вероятностях передаваемых сообщений

.

Минимизация Р означает минимизацию суммы S₀ + S₁, что достигается при выборе оптимального порога λ_опт, определяемого из условия (рис. 6.26)

.

При таком выборе порога

и, следовательно, для вычисления средней вероятности ошибочного приема Р достаточно определить любую условную вероятность ошибок, например,

.

Произведя замену переменных

,

получим

, (6.18)

где Q(ν_опт) – дополнительная функция ошибок,

F(ν_опт) – функция ошибок,

Ф(ν_опт) – функция Крампа.

Все эти функции табулированы, их можно найти в математических справочниках.

Полученный результат свидетельствует, что для любой двоичной системы при когерентном приеме вероятность ошибок определяется исключительно величиной ν_опт, на которой сосредоточим свое внимание. Из рассмотренного вытекает

,

где – математическое ожидание отклика фильтра, согла-

сованного с разностным сигналом s_Э(t) = s₁(t) – s₀(t),

на «свой» сигнал в момент t = T,

σ – квадратный корень из дисперсии этого отклика.

Используя ранее вычисленное значение отношения с/ш на выходе согласованного фильтра (6.17), получаем

, (6.18)

где Е_Э – энергия разностного (эквивалентного) сигнала s_э(t),

N_O – спектральная плотность мощности шума,

.

Учитывая геометрический смысл энергии сигнала, выражение (6.18) можно переписать в виде

.

Выводы

1. Помехоустойчивость когерентного приема в двоичных системах определяется исключительно соотношением энергии Е_Э разностного сигнала (расстоянием между сигналами) и спектральной плотности мощности N_O нормального белого шума

. (6.19)

2. Средняя вероятность ошибочного приема для этого случая вычисляется с помощью дополнительной функции ошибок по формуле

(6.20)

 

Сравнительный анализ потенциальной

помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции

Для сравнения помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции АМ, ЧМ (при использовании ортогональных сигналов) и ФМ достаточно для каждого из… Из этих рисунков и (6.20) следует: (6.21)

Контрольные вопросы

1. Как количественно оценивают помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений (СПДС)?

2. Сформулируйте задачу расчета потенциальной помехоустойчивости СПДС.

3. Напишите алгоритм оптимального когерентного демодулятора двоичной системы связи.

4. Нарисуйте схему оптимального когерентного демодулятора АМ сигналов.

5. Нарисуйте схему оптимального когерентного демодулятора ЧМ сигналов.

6. Нарисуйте схему оптимального когерентного демодулятора ФМ сигналов.

7. Изложите методологию расчета средней вероятности ощибочного приема в двоичной системе связи.

8. От чего зависит помехоустойчивость двоичной системы связи?

9. Приведите формулу расчета средней вероятности ошибочного приема АМ сигналов в двоичной СПДС.

10. Приведите формулу расчета средней вероятности ошибочного приема ЧМ сигналов в двоичной СПДС.

11. Приведите формулу расчета средней вероятности ошибочного приема ФМ сигналов в двоичной СПДС.

12. В каком соотношении находятся энергии (мощности) сигналов с разными видами цифровой модуляции, обеспечивающие одинаковую помехоустойчивость? Дайте геометрическую трактовку этим соотношениям.

13. Перечислите проблемы практического использования ФМ в СПДС.

14. Что такое «обратная работа» и по каким причинам она возникает?

15. В чем сущность ОФМ?

16. Как формируют сигналы с ОФМ?

17. Как осуществляют оптимальный когерентный прием с ОФМ?

18. Как вычисляется средняя вероятность ошибочного приема в системах с ОФМ?

19. Расположите системы с АМ, ЧМ, ФМ и ОФМ в порядке убывания помехоустойчивости при равных энергиях сигналов.

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

помехоустойчивости когерентного приема в двоичных СПДС

Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.4 и 6.5, целесообразно выполнить лабораторную работу № 17 «Исследование помехоустойчивости СПДС» в части, относящейся с когерентному приему (задания 1 и 2) (рис. 6.31, 6.32). Обратите внимание на близость экспериментальных оценок помехоустойчивости расчетным и на уменьшение их разброса с увеличением объема данных.

Синтез оптимального демодулятора в канале

с неопределенной фазой (некогерентный прием)

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{s_i(t)}_m; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал с неопределенной фазой

,

где t - случайная задержка сигнала в канале,

,

- случайная фаза с равномерным распределением ,

N(t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. В качестве критерия качества приема используем критерий максимального правдоподобия (6.6), в котором отношение правдоподобия , зависящее от Q_k, является случайной величиной. Поэтому потребуем максимизации его математического ожидания

(6.24)

 

Требуетсясинтезировать оптимальный демодулятор, иначе говоря, найти алгоритм оптимальной обработки входного сигнала и принятия решения о передаваемом сообщении.

Решение

Исходя из ранее полученного выражения для L_i (6.10), с учетом (6.13) можно записать

.

Для дальнейшего удобно сигнал разложить на квадратурные составляющие по углу Q_k

Тогда

,

где

, (6.25)

.

Вернемся к отношению правдоподобия

.

Найдем математическое ожидание отношения правдоподобия (6.24)

.

Учитывая, что – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка, получим

.

Окончательно искомый алгоритм можно записать в виде

.

В таком виде алгоритм сложен для реализации. Для его упрощения можно применить любую монотонную функцию к выражению, стоящему в прямоугольных скобках [x], например, ln[x], что не изменит его суть

. (6.26)

Из алгоритма (6.26) вытекает схема демодулятора, показанная на рис. 6.33. Такая схема сложна для реализации, а сам алгоритм чувствителен к . Снятие этой проблемы и упрощение схемы демодулятора возможно при выборе сигналов равных энергий Е₁ = Е₂ = ,,, = Е_m, что обеспечивает равенство h₁ = h₂ = ,,, = h_m. Это позволяет исключить в ветвях демодулятора сумматоры и нелинейные преобразователи со сложной монотонной функциональной характеристикой вида ln[I₀(x)] (рис. 6.34), а алгоритм (6.26) принимает вид

(6.27)

 

Способ приема сигналов, при котором не используется информация о его фазе, называют некогерентным, как и соответствующие демодуляторы. Его алгоритм был впервые получен Л.М.Финком.

Выше введенная функция V_i, как это следует из выражения (6.25), представляет собой не что иное, как огибающую реакции СФ для соответствующего сигнала s_i(t). Отсюда вытекает возможность реализации оптимального демодулятора, содержащего в каждой своей ветви СФ и детектор огибающей (ДО) (рис. 6.25). Решение о переданном символе принимается по максимум огибающей в моменты kT .

Из выражения (6. 25) очевидно, что максимальная помехоустойчивость некогерентного приема достигается при минимальном (нулевом) значении огибающей V_j (в моменты отсчетов) на выходах ветвей j ≠ i при передаче сигнала s_i(t). Для этого необходимо выбирать сигналы равных энергий, удовлетворяющие требованию ортогональности в усиленном смысле

.

Примеры ортогональных в усиленном смысле сигналов:

1. Сигналы с ЧМ при соответствующем выборе частот

.

2. Сигналы с время-импульсной модуляцией (ВИМ) (рис. 6.36,а)

.

3. Сигналы с ОФМ обладают ортогональностью в усиленном смысле на интервале –Т ÷ Т (рис. 6.36,б). На этом интервале сообщения «0» и «1» передаются сигналами:

Рекомендуется доказать ортогональность этих сигналов самостоятельно.

Потенциальная помехоустойчивость

некогерентного приема в двоичной системе связи

. Вычислим , ориентируясь на схему некогерентного демодулятора на СФ (рис.…

Рекомендации по проведению экспериментальных

исследований некогерентного приема

Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.6 и 6.7, целесообразно выполнить лабораторные работы № 16 «Исследование некогерентных…    

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г.Зюко, Д.Д.Кловский, В.И.Коржик, М.В.Назаров; Под ред. Д.Д.Кловского.–М.:Радио и связь, 1998.–432 с.: ил.

2. Радиотехнические системы передачи информации: Учеб. пособие для вузов / В.А.Борисов, В.В.Калмыков, Я.М.Ковальчук и др.; Под ред. В.В.Калмыкова. –М.: Радио и связь, 1990. –304 с.: ил.

3. Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г.Зюко, Д.Д.Кловский, М.В.Назаров, Л.М.Финк. – 2-е изд., переаб. И доп. – М.: Радио и сязь, 1986. – 304 с.: ил.;

4. Сальников А.П. Теория электрической связи: Конспект лекций. Часть 1/ СПбГУТ. – СПб, 2002. – 109 с.: ил.

5. Сальников А.П. Виртуальная учебная лаборатория по курсам кафедры теоретических основ связи и радиотехники / СПбГУТ.-СПб,2001.-100 с.: ил.

 

СОДЕРЖАНИЕ

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ……………….3

4.1. Понятие случайного процесса …………………………………….…………–

4.2. Сокращенное описание случайных процессов………………………..……..5

4.3. Спектральный анализ случайных процессов………………………...………9

Контрольные вопросы………………………………………………….…………16

Рекомендации по проведению экспериментальных

исследований случайных процессов……………………………………………..17

5. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ СИГНАЛОВ ……………………………………….……19

Прохождение случайных процессов через безынерционные цепи………...–

Прохождение случайных процессов через линейные цепи………………..23

Узкополосные случайные процессы………………………………….……..25

Контрольные вопросы…………………………………………………….………32

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

прохождения случайных процессов через различные ФУ……………………..33

6. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ…………...……..34

6.1. Постановка задачи…………………………………………….……..………..–

6.2. Критерии качества приема дискретных сообщений………………….……36

Контрольные вопросы…………………………………….………………………41

6.3. Синтез оптимального демодулятора при известном

ансамбле сигналов (когерентный прием)…………………………………..42

6.3.1. Постановка и решение задачи когерентного

приема на корреляторах……………………………….………………..–

6.3.2. Синтез оптимального когерентного демодулятора

на согласованных фильтрах……………………………………………46

6.3.3. Согласованная фильтрация и корреляционный прием

некоторых типичных сигналов……………………………...…………51

6.3.4. Оптимальный когерентный прием при небелом шуме…………...…56

Контрольные вопросы………………………………………………….…………57

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

оптимального когерентного приема…………………………..…………………58

6.4. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема……………....62

6.5. Сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости

основных видов цифровой модуляции………………………….…………..65

Контрольные вопросы…………………………………………………….………68

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

помехоустойчивости когерентного приема в двоичных СПДС…………….….69

6.6. Синтез оптимального демодулятора в канале

с неопределенной фазой (некогерентный прием)……………….…………71

6.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема

в двоичной системе связи……………………………………………..……..76

Контрольные вопросы…………………………………………………………….79

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

помехоустойчивости когерентного приема в двоичных СПДС………………..80

ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………….………..……83

 

 

 

 

А.П. Сальников

Теория электрической связи

 

Конспект лекций. Часть 2

 

Редактор И.И. Щенсняк

 

ЛР № 020475 от 29.04.97. Подписано к печати .03

Объем печ. л. Тираж 200 экз. Зак.

РИО СПбГУТ. 191186, СПб., наб. р. Мойки, 61

СТ «Факультет ДВО». 191186. СПб, наб. р. Мойки, 61