Синтез СНС с эталонной моделью

Пусть требуется синтезировать СНС с эталонной моделью, в качестве вектора состояния которой предполагается использовать скалярную величину – выходную переменную системы y(t), в качестве примем простейший критерий: ,

где ,- заданный сигнал на выходе объекта, - реальный сигнал на выходе объекта.

В этом случае

и закон изменения параметров в соответствии с (11.21) можно записать:

(11.22)

где (11.23)

Функция получила название функции чувствительности. Она характеризует свойство системы управления изменять свой режим в зависимости от изменений переменных параметров . Это свойство называется чувствительностью системы.

Функцию чувствительности либо определяют по дифуравнениям чувствительности, которые составляют по дифуравнениям системы, либо рассчитывают с помощью преобразования Лапласа.

Напомним, что преобразование Лапласа ставит в соответствие каждой однозначной функции (оригиналу) единственную функцию (изображение) комплексной переменной . Применение изображений позволяет свести операции интегрирования и дифференцирования оригиналов к алгебраическим действиям над изображением.

Если передаточную функцию системы управления обозначить W(p), то в соответствии с определением

(11.24)

где , V(p) – изображения выходной и входной переменных системы.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

(11.25)

где - точная нижняя грань (минимум) чисел , при которых интеграл (11.24) сходится. На практике обратное (и прямое) преобразование Лапласа производится с помощью таблиц, имеющихся в любом справочнике по высшей математике.

Из (11.24) и (11.25) следует

(11.26)

Функция чувствительности с учетом коммутативности оператора L и операции дифференцирования из (11.26) определится как

(11.27)

или в операторной форме

(11.28)

Пример. Синтезировать контур самонастройки для системы автоматического управления (рис.7), стабилизирующий заданные оптимальные параметры. Передаточная функция объекта

, (11.29)

где изменяющиеся во времени параметры - .

Передаточная функция регулятора

, (11.30)

где параметры варьируются для обеспечения самонастройки.

Решение. Для решения задачи выбираем структурную схему СНС с эталонной моделью (рис. 8).

Контур самонастройки содержит эталонную модель (11.31)

где - постоянные коэффициенты; устройство самонастройки (УСН) и исполнительный элемент(ИЭ).

В ходе функционирования СНС требуется управлять параметрами регулятора таким образом, чтобы общая передаточная функция K (P) соответствовала передаточной функции, задаваемой моделью (11.31):

(11.32)

Равенство (11.32) возможно, если , где

Выберем в качестве критерия самонастройки (11.18), а в качестве вектора состояния используем

Законы изменения настраиваемых параметров можно определить из (11.22), считая, что ±k=-1 (ищется минимум), а также принимая, что скорость изменения намного меньше скорости изменения , так что можно считать условно постоянными. Поэтому (11.21) запишется для рассматриваемой задачи следующим образом:

(11.33)

где - функция чувствительности y по .

Аналогично

, (11.34)

где - функция чувствительности y по .

Для расчета и можно воспользоваться (11.27) и (11.28), однако в рассматриваемом случае их удобнее оценить с помощью дифуравнений чувствительности. Их получают исходя из дифуравнения, описывающего состояние системы управления, которое составляется на основании (11.32).

откуда (11.35)

Продифференцируем (11.35) по и , учитывая, что не зависит от и :

(11.36)

(11.37)

Считая обычными частными производными функции многих переменных, меняем порядок дифференцирования в (11.36) и (11.37):

Обозначая ; , получим уравнения, используемые для определения , :

(11.38)

(11.39)

где в качестве и берутся их оптимальные значения:

Реализация закона изменения , заданного (11.33), (11.34), (11.38), (11.39), осуществляется на УСН, построенном на основе АВМ или ЦВМ. Оптимальные значения весовых коэффициентов находятся в результате специальных исследований СНС.