Исследование распределения напряжения и тока в нагруженной длинной линии

Длинная линия— регулярная линия передачи, длина которой сопоставима с длиной волны λ колебаний, распространяющихся в линии.

Характерной особенностью длинных линий является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается генератором электромагнитных колебаний, подключенным к линии, и называется падающей. Другая волна может возникать из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии, и называется отраженной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами. На рис. 2.1 представлена двухпроводная длинная линия. Здесь обозначено: Z_н = R_н + iX_н – комплексное сопротивление нагрузки; z – продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Рисунок 2.1 - Длинная линия

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами:

R₁ – погонное сопротивление, Ом/м;

G₁ – погонная проводимость, 1/Ом м;

L₁ – погонная индуктивность, Гн/м;

C₁ – погонная емкость, Ф/м.

Погонные сопротивление R₁ и проводимость G₁ зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше, соответственно, R₁ и G₁. Погонные индуктивность L₁ и емкость C₁ определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

Электродинамически линия в каждом сечении z характеризуется напряжением U(z) между проводниками и током I(z) в одном из проводников (при этом в другом проводнике течет ток –I(z)).

Напряжение и ток подчиняются телеграфным уравнениям

, (2.1)

где Z₁ = R₁ + iωL₁, Y₁ = G₁ + iωC₁ – погонные комплексные сопротивление и проводимость линии соответственно. Телеграфные уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии.

Условием регулярности длинной линии является неизменность погонных комплексных сопротивления Z₁ и проводимости Y₁ вдоль линии.

Из телеграфных уравнений (2.1) путем взаимной подстановки получаются волновые уравнения

, (2.2)

где γ – коэффициент распространения волны в линии, который определяется параметрами линии и вычисляется по формуле

. (2.3)

Решения волновых уравнений (2.2) могут быть записаны в виде:

, (2.4)

где U^пад, U^отр и I^пад, I^отр – коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно.

Решения волновых уравнений в виде (2.4) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое – отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициенты U^пад, I^пад представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты I^пад, I^отр – комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно.

Направление распространения волн в (2.4) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс – волна распространяется в отрицательном направлении оси z, минус – в положительном направлении оси z (см. рис. 1, где координата z отсчитывается от нагрузки).

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

, (2.5)

где α – коэффициент затухания волны в линии, β – коэффициент фазы.

Так как при распространении волны на длину волны в линии L фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны в линии L соотношением

. (2.6)

При этом фазовая скорость волны в линии v_ф определяется через коэффициент фазы:

. (2.7)

Решение телеграфных уравнений могут быть записаны в виде

. (2.8)

В (2.8) первые слагаемые определяют падающую, а вторые – отраженную от нагрузки волну. Величины U^пад и U^отр представляют собой соответственно напряжения падающей и отраженной волн в сечении z = 0 (месте расположения нагрузки). Величина W_L называется волновым сопротивлением линии передачи и определяется формулой

. (2.9)

Если ввести комплексный коэффициент отражения по напряжениюс помощью формулы Γ_н = U^отр / U^пад (индекс «н» означает, что отношение амплитуд отраженной и падающей волн берется в точке расположения нагрузки), то формулы (2.8) могут быть записаны в виде

. (2.10)

Очевидно, что модуль коэффициента отражения изменяется в пределах

. (2.11)

Степень согласования линии с нагрузкой может быть определена с помощью коэффициента бегущей волны КБВ и коэффициента стоячей волны КСВ:

. (2.12)

Здесь U_min и U_max – соответственно минимальное и максимальное значение амплитуды напряжения вдоль линии передачи.

Очевидно, КБВ и КСВ изменяются в пределах

. (2.13)

Коэффициент отражения от нагрузки связан с величиной нагрузки формулой

. (2.14)