Передаточные функции

Поскольку передаточные функции полосно-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (1) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция полосно-пропускающего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножителя функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка

(3)

соответствующий сомножитель полосно-пропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида

, (4)

где С – нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в прил. 1 для фильтров Баттерворта и Чебышева.

Полосно-пропускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (3) с С = 1. В этом случае из (4 получаем передаточную функцию

(5)

полосно-пропускающего фильтра второго порядка.

Передаточную функцию вида (5) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (3) при С = 1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка.

Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:

, (6)

где В и С – соответствующие коэффициенты нижних частот (прил. 1).

В (4) значение K определяет коэффициент усиления звена, а в (6)
K – общий коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.

Передаточную функцию, заданную уравнением (6), можно представить в виде произведения двух функций второго порядка

(7)

и

, (8)

где

; (9)

. (10)

Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком n = 4, 6, 8, … будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (7), а другой – уравнением (8); K₁ и K ₂ представляют собой коэффициенты усиления двух полосно-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы K ₁K ₂ = K.

Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более низкого порядка можно записать в следующем виде:

, (11)

где параметры r, b и g получаются с помощью приравнивания уравнения (11) к соответствующим уравнениям (5), (6), (8) или (9).

Интересно отметить, что параметр Е представляет собой добротность Q каждого звена (см. (7) и (8)). Как и для фильтров нижних частот и верхних частот, для реализации высоких значений Q обычно требуются высококачественные схемы.